極點(diǎn)與極線背景下的高考試題

1、1極點(diǎn)與極線背景下的高考試題王文彬王文彬(江西省撫州市第一中學(xué)344000)極點(diǎn)與極線是高等幾何中的重要概念，當(dāng)然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種基本特征，因此在高考試題中必然會(huì)有所反映，自然也會(huì)成為高考試題的命題背景.作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)了解極點(diǎn)與極線的概念，掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，只有這樣，才能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)與極線的知識(shí)背景，進(jìn)而把握命題規(guī)律.

2、1.從幾何角度看極點(diǎn)與極線定義定義1如圖1，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)引PP兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接EFGHEHFG交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.NEGFHMMNP若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線.PP由圖1同理可知，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所PMNPNM對(duì)應(yīng)的極線.因而將稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線交圓錐曲線MNPMN于點(diǎn)兩點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線.ABPAPB定理1(1)當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)的極線是曲線P?

3、P在點(diǎn)處的切線；?P(2)當(dāng)在外時(shí)，過點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)的極線是P?P?ABP直線(即切點(diǎn)弦所在的直線)；AB(3)當(dāng)在內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)任作一割線交于，設(shè)在處的切線交于點(diǎn)P?P?AB?ABQ，則點(diǎn)的極線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡.PQ定理2如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線為，過點(diǎn)任作一割線交于P?lP?AB，交于，則①；反之，若有①成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱lQPAPBAQBQ?PQAB點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛，或稱點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于圓錐曲線PQ?

4、PQ的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)(或點(diǎn)).點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)?QPP?和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)的極線.P推論1如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛P?點(diǎn)為點(diǎn)，則有②；反之，若有②成立，Q211PQPAPB??則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.PQ?可以證明①與②是等價(jià)的.事實(shí)上，由①有11AQBQPQPAPBPQPQPQPAPBPAPBPAPB?????????11()2PQPAPB????.211PQPAPB???特別地，我們還有推論2如圖3，設(shè)點(diǎn)關(guān)于

5、有心圓錐曲線(設(shè)其中心為)的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，P?OQ連線經(jīng)過圓錐曲線的中心，則有，反之若有此式成立，則點(diǎn)與PQ2OPOQ??PQPEFGHMANB圖1PQA圖2Bl3雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極22ypx?00()Pxy(0)2pF線恰為拋物線的準(zhǔn)線.3.從極點(diǎn)與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓xOy的左右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為設(shè)過點(diǎn)的直線與此橢圓分15922?

6、?yxABF()TtmTATB別交于點(diǎn)，其中，1122()()MxyNxy0m?1200yy??，(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)的軌跡；422??PBPFP(2)設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；12123xx??，T(3)設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）9?tMNxm分析與解：前面兩問比較簡(jiǎn)單，這里從略.對(duì)于(3)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，9?tT(9)m連，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，根據(jù)MNABMNK極點(diǎn)與極線的定義可知，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線經(jīng)過，TK又點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線

7、方程為，即T9195xmy????，此直線恒過軸上的定點(diǎn)，15myx???xK(10)從而直線也恒過定點(diǎn).MNK(10)【例2】(2008安徽卷理22)設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左2222:1(0)xyCabab????(21)M焦點(diǎn)為.1(20)F?(1)求橢圓的方程；C(2)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)(41)PlCABAB，滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上.QAPQBAQPB???????????????????Q分析與解：

8、(1)易求得答案.22142xy??(2)由條件可有，說明點(diǎn)關(guān)于PAPBAQBQ?????????????????PQ圓錐曲線調(diào)和共軛.根據(jù)定理2，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)CQ對(duì)應(yīng)的極線，即，化簡(jiǎn)得.P41142xy????220xy???故點(diǎn)總在定直線上.Q220xy???【例3】(1995全國(guó)卷理26)已知橢圓，直線，是上22:12416xyC??:1128xyl??Pl一點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，又點(diǎn)在上且滿足，當(dāng)點(diǎn)在上OPRQOP2OQOP??