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1、24反函數(shù)反函數(shù)例題解析例題解析【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)y(x)(2)yx2x3x(0]2=≠-=-+,∈-∞,352112xx??(3)y(x0)(4)yx1(1x0)(0x1)=≤=-≤≤-<≤112xx??????解(1)y(x)yy(2y3)xy5xy(x)∵=≠-,∴≠,由=得-=--,∴=所求反函數(shù)為=≠35211232352153253232xxxxyyyy????????解(2)∵y=(x-1)2+2,x∈(-
2、∞,0]其值域?yàn)閥∈[2,+∞),由=-+≤,得-=-,即=-∴反函數(shù)為=-,≥y(x1)2(x0)x1x1f(x)1(x2)21yyx????222解(3)y(x0)0y1yxf(x)(0x1)1∵=≤,它的值域?yàn)椋肌埽桑降茫剑?,∴反函?shù)為=-<≤11111122xxyyxx?????解(4)y(1x0)0y1f(x)x1(0x1)y(0x1)12由=-≤≤,得值域≤≤,反函數(shù)=-≤≤由=-<≤,xx??1若=,則=這與已知≠矛盾,
3、∴=,,即反函數(shù)=y(tǒng)3aaxf(x)113131313?????ayyaxx(2)f(x)f(x)x1若=,即=對(duì)定義域內(nèi)一切的值恒成立,?????3113xxaaxx令x=0,∴a=-3或解或解由f(x)=f1(x),那麼函數(shù)f(x)與f1(x)的定義域和值域相同,定義域是x|x≠a,x∈R,值域y∈y|y≠3,y∈R,∴-a=3即a=-3【例4】已知函數(shù)==中,、、、均不為零,yf(x)abcdaxbcxd??試求a、b、c、d滿足
4、什麼條件時(shí),它的反函數(shù)仍是自身解f(x)bcad0f(x)x1=+,∵常數(shù)函數(shù)沒(méi)有反函數(shù),∴-≠又=,要使=,對(duì)定義域內(nèi)一切值恒成立,acbcadccxddxbcxadxbcxaaxbcxd???????????()令x=0,得-a=d,即a+d=0事實(shí)上,當(dāng)a+d=0時(shí),必有f1(x)=f(x),因此所求的條件是bc-ad≠0,且a+d=0【例5】設(shè)點(diǎn)M(1,2)既在函數(shù)f(x)=ax2+b(x≥0)的圖像上,又在它的反函數(shù)圖像上,(
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