分析力學(xué)

1、1,分析力學(xué),教材：周衍柏《理論力學(xué)》(第五章),2,導(dǎo)言,,經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題基本上是用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解,3,對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系，需要解3n個(gè)微分方程，但是當(dāng)n很大時(shí)往往很難求解。 分析力學(xué)就是為解決這種困難而產(chǎn)生的，它用數(shù)學(xué)分析的方法解決力學(xué)問(wèn)題。,即兩方程+一個(gè)原理,4,分析力學(xué)是拉格朗日等人于十八世紀(jì)在牛頓力學(xué)基礎(chǔ)上建立的經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)體系，因?yàn)樗玫姆椒ㄍ耆菙?shù)學(xué)分析，稱之為分析力學(xué)。建立分析力學(xué)的目

2、的是為了用數(shù)學(xué)方法解決復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，后來(lái)的研究發(fā)現(xiàn)，分析力學(xué)的體系和方法不局限于力學(xué)，對(duì)物理學(xué)的其他領(lǐng)域也非常有用。其原因是將物理規(guī)律抽象為數(shù)學(xué)原理和定理，揭示了物理規(guī)律背后更普遍的性質(zhì)，掌握這些對(duì)今后的學(xué)習(xí)很重要。 這一章的重點(diǎn)是拉格朗日方程，哈密頓正則方程和正則變換在統(tǒng)計(jì)物理中有重要應(yīng)用，泊松括號(hào)的概念在量子力學(xué)中非常重要。,5,§1. 約束與廣義坐標(biāo),一、約束的概念和分類(lèi)1、力學(xué)體系：有相

3、互作用的一群質(zhì)點(diǎn)的集合。2、約束：制約體系中質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件。3、不可解約束：質(zhì)點(diǎn)始終不能脫離的約束。例如，在鐵軌上運(yùn)行的列車(chē)，始終不能脫離鐵軌；繞軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星始終不能脫離其軌道。這里鐵軌和軌道都是約束。這類(lèi)約束可用方程來(lái)表示。,6,注意這里的表示：約束是對(duì)整個(gè)力學(xué)體系的約束，所以,4、可解約束：質(zhì)點(diǎn)可以在某些方向脫離約束。例如，在一個(gè)圓形平面上任一滾動(dòng)的小球，可以出現(xiàn)在不超過(guò)半徑的任何地方。,7,一般地：,5、幾何

4、約束（完整約束）：僅對(duì)質(zhì)點(diǎn)位置進(jìn)行約束約束方程：,8,6、運(yùn)動(dòng)約束（微分約束）：對(duì)質(zhì)點(diǎn)的位置和速度同時(shí)的約束。例如火車(chē)在彎道上行駛。約束方程：,上述方程若能積分，為完整約束，否則為不完整約束7、完整系：只受完整約束的力學(xué)體系。本章只討論這種體系。,9,二、廣義坐標(biāo) 設(shè)體系中有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，各質(zhì)點(diǎn)在空間位置的一個(gè)分布稱為體系的一個(gè)位形。要確定一個(gè)位形，各質(zhì)點(diǎn)的位置必須確定。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有3個(gè)坐標(biāo)，則一個(gè)位形需要3n個(gè)

5、坐標(biāo)，但存在約束，3n個(gè)坐標(biāo)不完全獨(dú)立。獨(dú)立坐標(biāo)數(shù),10,例1、在球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)解：約束方程為 所以,11,例2、在圓周上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)解：約束方程為 所以,12,例3、兩質(zhì)點(diǎn)由長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性桿相連，求獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。解：約束方程為 所以,13,上述的獨(dú)立坐標(biāo)可以是通常的坐標(biāo)x,y,z，也可以是角度 等，還可以是其他的物理量。這樣表示質(zhì)點(diǎn)位置的變

6、量稱為廣義坐標(biāo)。,對(duì)于具體問(wèn)題，它們有具體的不同的形式。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可以用廣義坐標(biāo)來(lái)表示。,14,例4、用廣義坐標(biāo)來(lái)表示例1中的質(zhì)點(diǎn)位置解：,15,這里的 就是廣義坐標(biāo)。,例5、用廣義坐標(biāo)表示例2中的質(zhì)點(diǎn),16,x,y,這里的 就是廣義坐標(biāo)。,17,例6、確定例3中的廣義坐標(biāo),18,這里的 就是廣義坐標(biāo)。,19,§2. 虛功原理,一

7、、實(shí)位移與虛位移1. 實(shí)位移：運(yùn)動(dòng)學(xué)里講的位移。在 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的位移 。發(fā)生實(shí)位移時(shí)質(zhì)點(diǎn)一定沿自己的軌道運(yùn)動(dòng)。,2. 虛位移：假想質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的位移，它不受運(yùn)動(dòng)軌道的約束。,20,由于是假想的，故發(fā)生虛位移時(shí)不需要時(shí)間，可以說(shuō)某時(shí)刻的虛位移 。即虛位移對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔 。,二、理想約束1. 虛功：質(zhì)點(diǎn)所受力與虛位移的點(diǎn)乘積。虛元功

8、 。,21,2. 約束反力：質(zhì)點(diǎn)因受約束而受到的力。例如在光滑平面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，受到平面的支持力稱為約束反力 （被動(dòng)力）。3. 理想約束：體系受所有約束反力 的虛功之和 。光滑的面、線，剛性的桿，不可伸長(zhǎng)的繩子等都是理想約束。,22,三、虛功原理：,對(duì)于理想約束,23,所以，對(duì)于理想約束，如果,系統(tǒng)則處于平衡狀態(tài)。,虛功原理：受理想約束的

9、力學(xué)體系平衡的充要條件是，系統(tǒng)的各個(gè)主動(dòng)力在任意虛位移中所做的元功之和等于零。,24,分量式表示為：,因?yàn)?不完全獨(dú)立，所以不能由虛功原理得出諸分力全為零的結(jié)論。為此，使用廣義坐標(biāo)。,25,返回,26,因此，,27,廣義力,返回,28,例. P.206,29,解：只要定出A、B的位置，體系的位形即確定。為平面問(wèn)題，定出A、B的位置需4個(gè)坐標(biāo)，但有兩個(gè)約束

10、 。所以有兩個(gè)廣義坐標(biāo)，選為 。,三個(gè)主動(dòng)力是： 由虛功原理得：,30,（與廣義坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)）,31,代入虛功原理方程，并整理得,兩個(gè)角度定出，位形即確定,32,解,代入,33,四、拉格朗日未定乘數(shù)（子）與約束力,虛功原理：,因?yàn)?不完全獨(dú)立，所以不能由虛功原理得出諸分力全為零的結(jié)論。,假定有k個(gè)約束條件：,34,上

11、式代表k個(gè)方程，每一個(gè)方程都乘一因子 并相加，得,35,兩式相加，得,36,選擇 總能使各虛位移前面的系數(shù)為零，即,3n+k個(gè)方程， 3n+k個(gè)未知數(shù)即可求出,37,約束反力為：,這種確定位形的方法，叫拉格朗日乘子法。,38,§3. 拉格朗日方程,一、基本形式的拉格朗日方程,牛頓運(yùn)動(dòng)定律:,,慣性力,39,將 看成一種力——慣性力，質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)力的作用下而平衡。將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

12、轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題求解?！_(dá)朗伯原理 對(duì)于理想約束，虛功原理為：,40,達(dá)朗伯—拉格朗日方程,41,42,43,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，廣義坐標(biāo)隨時(shí)間變化，即：,所以,44,例如：,表明：,45,但是,兩“點(diǎn)”同時(shí)去掉仍相等。同理可以證明：,,46,47,48,基本形式的拉格朗日方程,對(duì)于自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：,49,所以定義 為廣義動(dòng)量。s個(gè)廣義動(dòng)量也是相互獨(dú)立的。它們與s個(gè)廣義坐標(biāo)張成的2

13、s維空間稱為相空間。所以相空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,二、保守力系的拉格朗日方程,50,體系在保守力的作用下，可引入勢(shì)能,力與勢(shì)能的關(guān)系是,假定與速度無(wú)關(guān),51,52,令L=T-V為拉格朗日函數(shù),保守力系的拉格朗日方程,53,三、循環(huán)積分（略）,四、能量積分（略）,五、拉格朗日方程的應(yīng)用,例：在球坐標(biāo)下，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程解：質(zhì)點(diǎn)的球坐標(biāo)為 ，在dt時(shí)間內(nèi)， 質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)方向的位移分量為（見(jiàn)p219

14、圖5.3.3）,速度分量為,54,求廣義力,55,56,利用拉格朗日方程的解題步驟： (1)確定體系的自由度； (2)選取廣義坐標(biāo)； (3)寫(xiě)出L=T-V (4)將L代入方程并求解。,57,例：p220,58,解：4個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作直線運(yùn)動(dòng)，需要4個(gè)坐標(biāo)確定其位置。但有兩個(gè)約束條件，僅有兩個(gè)是獨(dú)立的，選 為廣義坐標(biāo)。,速度,加速度,m1,m2,m3,59,60,同理可求出，其余兩個(gè)方程，聯(lián)立求出最

15、后結(jié)果。,§4. 小振動(dòng)（略）,61,例：p.273, 5.9題解：為保守力系,以xoy平面為重力勢(shì)能的零勢(shì)面，則,62,63,例：p.273, 5.12題解：系統(tǒng)的自由度為2（為什么？）,選 為廣義坐標(biāo),64,,求廣義力,65,66,67,§5. 哈密頓正則方程,一、 勒讓德變換,由一組獨(dú)立變量，變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量的變換。,看出拉氏方程為二階微分方程,68,所以，拉氏方程的另一種形式,利用方程