中考數(shù)學(xué)專題探究操作類問題

1、中考數(shù)學(xué)專題探究,第九講 操作性問題主 講 潘 誠單 位 蘇州立達(dá)學(xué)校,九、操作性問題,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要途徑是在觀察和動(dòng)手操作基礎(chǔ)上運(yùn)用恰當(dāng)?shù)牟孪肱c推理探求問題實(shí)質(zhì)，并從中發(fā)現(xiàn)和認(rèn)知規(guī)律。近年來操作性問題在全國各地的中考中頻繁出現(xiàn)也在于此。 其問題的特征：根據(jù)問題的條件從簡單（或特殊）到一般的情形進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，通過畫、割、拼及量等實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等數(shù)學(xué)變換，尋求合理的解決方案，

2、以達(dá)到解決具體的問題。 操作性問題既考查學(xué)生觀察、動(dòng)手實(shí)踐能力，同時(shí)也檢測了學(xué)生的分析、歸納和猜想能力，它符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，是中考命題的一個(gè)方向。,,典型例題導(dǎo)析例1 ⑴ (廣東梅州)如圖，將一副直角三角板疊在一起，使直角頂點(diǎn)重合于O點(diǎn)，則 ∠AOB+∠DOC＝ 度。,,解：∵∠AOB＝∠AOD+∠COD＋∠BOC ∴∠AOB+∠COD=(∠AOD+∠COD)+(∠BOC+∠COD)

3、 ＝90°＋90° ＝180°,,⑵(湖南湘潭)如圖，將一副三角板擺放成如圖所示，圖中 ∠1＝ 度。,,解：∠1＝180°－60°＝120°,,⑶（河南）如圖，一塊含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 的位置。若BC的長為15cm，那么

4、頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為 （ ） A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D.20 cm,,,,,,,,解：∵∠A＝30°，BC＝15 ∴∠ACB=60°

5、 ， AC=30 ∴ ∴ 選（D）,,,,⑷（湖北荊門）將一副三角尺如圖擺放在一起，連結(jié)AD，試求 ∠ADB的余切值.,,解：過點(diǎn)A作DB延長線的垂線AE，垂足為E.在等腰Rt△BDC中，∠1=45°，設(shè)BD=DC=k，則BC＝ k在Rt△ABC中，∠4＝30°，則AB＝BC·tan30°＝ k·在

6、Rt△AEB中，∠2＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－（90°＋45°）＝45°則EB=EA=AB·sin45°＝在Rt△DEA，DE=BD+EB=,,,,,,,則cot∠ADB,,,⑸（上海）將兩塊三角板如圖放置， 其中 ∠C＝ ∠ EDB=90° ，∠A＝45°，∠E＝30°，AB=DE=6,求重疊部分四邊形DBCF

7、的面積。,,解：∵∠A＝45°，AB=6, ∴AC=BC=ABsin45°＝6·S△ABC ＝ ·AC·BC＝9.在Rt△EDB中，∵∠E=30°，DE＝6，∴DB=DE·tan30°＝6· ＝2∴AD=AB－DB=6－,,,,,,,,∵∠EDB=90°，∠A＝45°∴△ADF是

8、等腰直角三角形.∴AD=DF＝6－2 ，∴S△ADF= ·AD·DF＝ ·（6－ ）·（6－ ）＝24－12∴S四邊形DBCF=S△ABC－S△ADF=9－（24－12 ） ＝12,,,,,,,,,,,,例2. （濟(jì)寧課改）直角三角形通過剪切可以拼成一個(gè)與該直角三角形面積相等的矩形．方法如下：請你用上面圖示

9、的方法，解答下列問題：（1）對任意三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形面積相等的矩形．,,,,（2）對任意四邊形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原四邊形面積相等的矩形．,,解答：（1）如圖所示：,,（2）如圖所示：,,例3.（浙江嘉興課改)現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD （如圖），其中AB=4cm，BC=6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．實(shí)施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在梯形AECD內(nèi)，記為點(diǎn) ．（

10、1）請用尺規(guī)，在圖中作出 （保留作圖痕跡）；（2）試求 兩點(diǎn)之間的距離．,,,,,解：（1）可以從 關(guān)于AE對稱來作，也可以從△ABE≌△ 來作； （2）B, 關(guān)于AE對稱，∴B ?AE，設(shè)垂足為F， 　　 ∵AB=4, BC=6，E是BC的中點(diǎn)，　　 ∴BE=3,AE=5,BF= ．∴B = ．　　

11、 ∵B =BE=CE，∴ ∠B C=90°．∴ , C兩點(diǎn)之間的距離為 cm,,,,,,,,,,,,,,例4.（河北省）如圖-1，△ABC的邊BC在直線l上，AC?BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．（1）在圖-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖-2的位

12、置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；,,（3）將 △EFP沿直線l向左平移到圖-3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．,,解：（1）AB=AP；AB?AP． （2）BQ=AP；BQ?AP．證明：①由已知，得EF=FP，

13、EF?FP，∴∠EPF=45°．又∵AC?BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ=AP．②如圖1，延長BQ交AP于點(diǎn)M．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠1=∠2．在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，∴∠2＋∠4=∠1+∠3=90

14、76;．∴∠QMA=90°．∴BQ?AP．（3）成立．,,（3）成立．證明：①如圖2，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．又 ∵AC?BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．∴BQ=AP．②如圖2，延長QB交AP于點(diǎn)N，則∠PBN=∠CBQ．

15、∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90° ∴QB?AP,,例5.（上海）操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q.探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x⑴當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間

16、有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；⑵當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；,,⑶當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由（圖1、圖2、圖3的形狀大小相同，圖1供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖2、圖3備用）,,解析：⑴PQ=PB,作PT?BC于T，PN?CD于N，可證得

17、 △PBT≌△PQN；⑵由⑴△PBT≌△PQN ，∴S△PBT=S△PQN∴S四邊形PBCQ=S四邊形PTCN ∵PA=x， AC= ∴PC= －x, PT=PN= ∴y＝,,,,,,⑶ ①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ=QC，此時(shí)x＝0。 ②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上，且CP=CQ時(shí)， 這時(shí)x＝1，過點(diǎn)P作PM?AB于M，MP的延長線交CD于N，可得 △P