2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽國(guó)家一等獎(jiǎng)?wù)撐?c題古塔的變形

1、1古塔的變形古塔的變形摘要摘要本文要求根據(jù)測(cè)繪公司對(duì)古塔的4次測(cè)量數(shù)據(jù)，給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并分析古塔的變形情況及其變形趨勢(shì)。為了計(jì)算的精度，我們首先對(duì)各變形量進(jìn)行了合理的數(shù)學(xué)定義，并對(duì)附錄的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的賦值。對(duì)于問(wèn)題一，我們通過(guò)最小二乘法擬合出觀測(cè)點(diǎn)所在平面，再建立優(yōu)化模型，在擬合平面上尋找到各觀測(cè)點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)作為古塔該層的中心點(diǎn)。利用MATLAB編程求解，得到了每次觀測(cè)古塔各層中心坐標(biāo)的通用方法及各層

2、的中心點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于問(wèn)題二，我們將古塔的傾斜、彎曲和扭曲等變形情況，分別給予合理的數(shù)學(xué)描述。對(duì)于傾斜變形，我們定義了傾斜角?，即塔尖與底層中心的水平距離與塔高的比值；對(duì)于彎曲變形，我們定義了彎曲率K，即用中心點(diǎn)所擬合出的空間曲線的曲率來(lái)描述古塔各處彎曲率；對(duì)于扭曲變形，我們定義了相對(duì)扭曲度?，利用坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換角度描述古塔的扭曲變形情況。利用空間曲線擬合、坐標(biāo)變換等方法以及MATLAB程序，分別求出了三個(gè)變形刻畫量的量化指標(biāo)。對(duì)于問(wèn)題三，

3、我們考慮通過(guò)古塔的傾斜、彎曲及扭曲程度來(lái)分析古塔的變形趨勢(shì)。由于數(shù)據(jù)量較少，我們建立灰色預(yù)測(cè)模型分析這三種變形因素的變化趨勢(shì)，利用相應(yīng)的MATLAB程序，得到了傾斜角、彎曲率以及相對(duì)扭曲度的預(yù)測(cè)函數(shù)和誤差檢驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的可靠性，并繼而分析古塔的變形趨勢(shì)。本文巧妙地將各種變形量給予了合理的數(shù)學(xué)描述及模型，并運(yùn)用最小二乘法、曲線投影擬合、坐標(biāo)變換等數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)了求解，并利用灰色預(yù)測(cè)對(duì)未來(lái)變形趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，具有較好的實(shí)用性和可推廣性。關(guān)鍵

4、詞：關(guān)鍵詞：古塔變形；最小二乘擬合；空間曲線曲率；坐標(biāo)矩陣變換；灰色預(yù)測(cè)；3（1213i??，128j??，1234k?）；()()()iiizAkxBkyCk???：第k次測(cè)量時(shí)第i層觀測(cè)點(diǎn)的擬合平面方程（1213i??，1234k?）；()Hk：第k次測(cè)量時(shí)古塔的塔高（1234k?）；()dk：第k次測(cè)量時(shí)古塔的塔尖與塔的底層中心的水平距離（1234k?）；()k?：第k次測(cè)量時(shí)古塔的傾斜角（1234k?）；21112222()()

5、()()()()()()()kkkxtaktbktckytaktbktckztt????????????：第k次測(cè)量時(shí)古塔各層中心點(diǎn)的擬合曲線（1234k?）；kK：第k次測(cè)量時(shí)古塔的彎曲率（1234k?）；()ijk?：第k次測(cè)量時(shí)古塔第i層第j個(gè)觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)于上次測(cè)量的扭曲度（1213i??，128j??，234k?）；()ik?：第k次測(cè)量時(shí)古塔第i層相對(duì)于上次測(cè)量的平均扭曲度（1213i??，234k?）；(()())iipkqk