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1、第三章 不等式,§3.4 基本不等式,這是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo).會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客。,,,,,,,,a,b,,1、正方形ABCD的 面積S=_____,2、四個(gè)直角三角形的 面積和S’ =__,3、S與S’有什么 樣的不等關(guān)系?,探究1:,S____S′,問:那么它們有相等的情況嗎?,>,重要不等式
2、: 一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。,,A,,,,B,C,D,E(FGH),a,b,,思考:你能給出不等式 的證明嗎?,(做差比較法),重要不等式:一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,總有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,文字?jǐn)⑹鰹?,兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.,適用范圍:,a,b∈R,問題一,即:,通常我們把上式寫作:,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取
3、等號(hào),這個(gè)不等式就叫做基本不等式.,在數(shù)學(xué)中,我們把 叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù), 叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù);,文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,適用范圍:,a>0,b>0,你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題二,Rt△ACD∽R(shí)t△DCB,,A,B,C,D,E,a,b,,,O,,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a
4、, BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,②如何用a, b表示CD? CD=______,①如何用a, b表示OD? OD=______,,你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題二,CD=______,OD=______,OD_____CD,>,≥,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,幾何意義
5、:半徑不小于弦長(zhǎng)的一半,A,,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍,a,b∈R,a>0,b>0,填表比較:,注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式,應(yīng)用舉例,例1.(1) 已知 并指出等號(hào)成立的條件.,(2) 已知
6、 與2的大小關(guān)系,并說明理由.,(3) 已知 能得到什么結(jié)論? 請(qǐng)說明理由.,應(yīng)用一:利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系,應(yīng)用二:利用基本不等式證明不等式,小結(jié),基本不等式,1.應(yīng)用基本不等式要注意的問題,2.靈活對(duì)公式的正用、逆用、變形用,二定,一正,三相等,§3.4 基本不等式(2),一、知識(shí)回顧,a=b,,,2,二、應(yīng)用舉例,應(yīng)用之三、求函數(shù)最值,,(一)
7、從生活中實(shí)例說起,引例1 (1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?,,A,B,D,C,,若x、y皆為正數(shù),則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值_______.,例1 (2)如圖,用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?,,A,B,D,C,,若x、y皆為正數(shù),則當(dāng)x+y的值
8、是常數(shù)S時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值_______;,,(1)一正:各項(xiàng)均為正數(shù),(2)二定:兩個(gè)正數(shù)積為定值,和有最小值。 兩個(gè)正數(shù)和為定值,積有最大值。,(3)三相等:求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“=”, 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,小結(jié):利用 求最值時(shí)要注意下面三
9、條:,結(jié)論:已知 都是正數(shù),(1)如果積 是定值P,那么當(dāng) 時(shí), 和 有最小值,(2)如果和 是定值S,那么當(dāng) 時(shí), 積 有最大值,(二)走進(jìn)高考,兩個(gè)正數(shù)和為定值,積有最大值。,學(xué)練考P40例1(1)和變式(2),,例2: 求函數(shù)
10、 的最小值,變式2:求函數(shù) 的最小值,變式1:求 的最大值。,變式3:若 則函數(shù) 的最小值是____。,兩個(gè)正數(shù)積為定值,和有最小值。,§3.4 基本不等式(3),(一)知識(shí)回顧,a=b,,,,(1)一正:各項(xiàng)均為正數(shù),(2)二定:兩個(gè)正數(shù)積為定值,和有最小值。
11、 兩個(gè)正數(shù)和為定值,積有最大值。,(3)三相等:求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“=”, 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,小結(jié):利用 求最值時(shí)要注意下面三條:,5:用均值不等式求最值:已知 都是正數(shù),(1)如果積 是定值P,那么當(dāng) 時(shí), 和
12、 有最小值,(2)如果和 是定值S,那么當(dāng) 時(shí), 積 有最大值,(二)活用均值不等式,題型 1 1的代換,例1、已知x,y為正實(shí)數(shù),且x+2y=1,(1)求xy的最大值,及取得最大值時(shí)的x,y的值;(2)求 的最小值。,變式1:已知x,y為正實(shí)數(shù),若 ,則 恒成立的實(shí)數(shù)m取值范圍是
13、 。,變式3:求 的最小值,并 指出取最小值時(shí)x的值。,變式2:已知 ,求 的最小值。,,兩個(gè)正數(shù)積為定值,和有最小值。(巧用常數(shù)來配湊),即 x=12,y=4 時(shí)取等號(hào).∴當(dāng) x=12,y=4 時(shí),x+y 有最小值為16.,zxx k,解,題型 2 利用基本不等式整體換元,【例 2】 若正數(shù) a,b 滿足 ab=a+b+3,
14、求 ab 及 a+b 的,取值范圍.,思維突破:本題主要考查均值不等式在求最值時(shí)的運(yùn)用,,并體現(xiàn)了換元法、構(gòu)造法等重要思想.,zxx k,zxx k,zxx k,整體思想是分析這類題目的突破口,即a+b,與ab 分別是統(tǒng)一的整體,把 a+b 轉(zhuǎn)換成 ab 或把 ab 轉(zhuǎn)換成a+b.,zxx k,zxx k,題型3:均值不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用,學(xué)練考P40例2,反思:應(yīng)用題,先弄清題意(審題),建立數(shù)學(xué)模型(列式),再用所掌握的數(shù)
15、學(xué)知識(shí)解決問題(求解),最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答)。,小結(jié),巔 峰 回 眸 豁 然 開 朗,1、注意公式的正用、逆用、變形使用。,2、牢記公式特征“正”、“定”“等”,它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。,我們積累了知識(shí),于枯燥中見奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂在成功之中,就能領(lǐng)略到公式平靜的美。,1、設(shè) 且a+b=3,求2a+2b的最小值___。,練習(xí):,3、已知?jiǎng)tx y 的最大值是
16、 。,,課堂小結(jié),本節(jié)課運(yùn)用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三個(gè)條件:,(一)不具備“正值”條件時(shí),需將其轉(zhuǎn)化為正值;,(二)不具備“定值”條件時(shí),需將其構(gòu)造成定值條件;(構(gòu)造:積為定值或和為定值),(三)不具備“相等”條件時(shí),需進(jìn)行適當(dāng)變形或利用函數(shù)單調(diào)性求值域;同時(shí)要靈活運(yùn)用“1”的代換。,①各項(xiàng)皆為正數(shù);②和或積為定值;③注意等號(hào)成立的條件.,一“正”二“定”三“相等”,利用基本不
17、等式求最值時(shí),要注意,小結(jié)評(píng)價(jià),你會(huì)了嗎?,1。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了基本不等式的證明與初步應(yīng)用。,,巔 峰 回 眸 豁 然 開 朗,2。注意公式的正用、逆用、變形使用。,3。牢記公式特征“正”、“定”、“等”,它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。,4。我們積累了知識(shí),于枯燥中見奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂在成功之中,就能領(lǐng)略到公式平靜的美。,復(fù)習(xí)導(dǎo)入,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),(當(dāng)且僅
18、當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),(3)利用基本不等式求函數(shù)的最值的條件 ①______②______③_____,,,,4、 利用基本不等式求函數(shù)的最值:(1)已知x,y∈R+,如果積xy是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),和x+y有最 值是 ;,(2)已知x,y∈R+,如果和x+y是定值S,那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),積xy有最 值是
19、 ;,,x=y,小,x=y,大,,正,定,相等,即:積定和最小,即:和定積最大,,,,,,,,,,,,,,),(,.,3,4,,,0,,,0,,,0,,,0,.,2,),(,),,,(,1,.,1,2,2,2,2,2,2,4,4,4,2,c,b,a,abc,c,a,c,b,b,a,c,b,a,ac,ad,bc,bd,bc,ad,d,c,b,a,b,a,y,x,R,y,x,y,b,x,a,b,a,+,+,³,+,+,³
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