高中數(shù)學必修1難題好題2

1、高中數(shù)學必修高中數(shù)學必修1難題好題難題好題1（2013?重慶）對正整數(shù)n，記In=1，2，3…，n，Pn=|m∈In，k∈In（1）求集合P7中元素的個數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并2（2011?朝陽區(qū)二模）對于整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bqr，0≤r＜|b|特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A=1，2，3，…

2、，23（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91qr（0≤r＜91），試求q，r的值；（Ⅱ）若B?A，card（B）=12（card（B）指集合B中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“諧和集”請寫出一個含有元素7的“諧和集”B0和一個含有元素8的非“諧和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由3（2010?北京）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，…，xn），x1∈0，1，

3、i=1，2，…，n（n≥2）對于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定義A與B的差為A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；A與B之間的距離為（Ⅰ）當n=5時，設A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；（Ⅱ）證明：?A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅲ）證明：?A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，

4、C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)4（2008?南京模擬）已知集合A=a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示aiaj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)（1）已知集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分別求k（P）和k（Q）；（2）若集合A=2，4，8，…，2n，證明：；（3）求k（A）的最小值5（2007?北京）已知集合A=a1，a2，…，ak（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A

5、中的元素構(gòu)成兩個相應的集合：S=（a，b）|a∈A，b∈A，ab∈A，T=（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n若對于任意的a∈A，總有﹣a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P（Ⅰ）檢驗集合0，1，2，3與﹣1，2，3是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應的集合S和T；（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；（Ⅲ）判斷m和n的大小關系，并證明你的結(jié)論6（2003?上海）已知集合

6、M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（xT）=T?f（x）成立（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；（2）設函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍7設a，b是兩個實數(shù)，A=（x，y）|x=n，y=nab，n是整數(shù)，B=（x，y）|x=m，y=3m215，m是整數(shù)，（1）若函數(shù)f（x

7、）=，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；（3）若g（x）=f（xα），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明14（2005?浙江）函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）=x22x（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）1在

8、[﹣1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍15（2005?湖南）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2bx，a≠0（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅱ）設函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行16（2005?廣東）設函數(shù)f（x）在（﹣∞，∞）上滿足f（2﹣x）=f

9、（2x），f（7﹣x）=f（7x），且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；（Ⅱ）試求方程f（x）=0在閉區(qū)間[﹣2005，2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論17（2004?上海）已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，g（x）=x22ax1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若n為正整數(shù)，證明：18（

10、2002?北京）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（ab）=af（b）bf（a）（1）求f（0）及f（1）的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若f（2）=2，un=，求證數(shù)列un是等差數(shù)列，并求un的通項公式19（2001?廣東）設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=1對稱對任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1x2）=f（x1）?f（x2），且f（1）=a＞0（Ⅰ）求f