高等數學同濟第七版)上冊-知識點總結資料

1、1高等數學 高等數學(同濟第七版 同濟第七版)上冊 上冊-知識點總結 知識點總結第一章 函數與極限一. 函數的概念 函數的概念1.兩個無窮小的比較設 且 0 ) ( lim , 0 ) ( lim ? ? x g x f l x gx f ? ) () ( lim（1）l = 0，稱f (x)是比g(x)高階的無窮小，記以f (x) = 0[ ]，稱g(x)是 ) (x g比f(x)低階的無窮小。 （2）l ≠ 0，稱f (x)與g(x

2、)是同階無窮小。（3）l = 1，稱f (x)與g(x)是等價無窮小，記以f (x) ~ g(x)2.常見的等價無窮小當x →0時sin x ~ x，tan x ~ x，~ x，~ x， x arcsin x arccos1? cos x ~ ， ?1 ~ x ，~ x ， ~ 2 / 2 ^ x x e ) 1 ln( x ? 1 ) 1 ( ? ? ? x x ?二．求極限的方法 求極限的方法1．兩個準則 準則 1. 單調有界數

3、列極限一定存在準則 2.（夾逼定理）設g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 ，則 A x h A x g ? ? ) ( lim , ) ( lim A x f ? ) ( lim2．兩個重要公式公式 1 1 sin lim0 ?? xxx公式 2 e x xx ? ??/ 10 ) 1 ( lim3．用無窮小重要性質和等價無窮小代換 4．用泰勒公式當 時，有以下公式，可當做等價無窮小更深層次 x 0 ?3（2）只要條件具備，可以

4、連續(xù)應用洛必達法則； （3）洛必達法則的條件是充分的，但不必要．因此，在該法則失效時并不 能斷定原極限不存在．6．利用導數定義求極限基本公式 (如果存在） ) ( ) ( ) ( lim 0' 0 00 x f xx f x x fx ? ?? ? ?? ?7.利用定積分定義求極限基本格式 （如果存在） ? ? ?? ? ?10 1) ( ) ( 1 lim dx x f nk f nnk n三． 三．函數的間斷點的分類 函數的

5、間斷點的分類函數的間斷點分為兩類：（1）第一類間斷點設是函數 y = f (x)的間斷點。如果 f (x)在間斷點 處的左、右極限都存 0 x 0 x在，則稱 是 f (x)的第一類間斷點。左右極限存在且相同但不等于該點的函數 0 x值為可去間斷點。左右極限不存在為跳躍間斷點。第一類間斷點包括可去間斷 點和跳躍間斷點。（2）第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。四． 四．

6、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數f (x)，有以下幾個基本性質。這些性質以后都要用到。 定理1． （有界定理）如果函數f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f (x)必在[a,b]上有 界。定理2． （最大值和最小值定理）如果函數f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值M 和最小值m 。 定理3． （介值定理）如果函數f (x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其最大值和最小