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1、硼㈣ ㈣ ㈣ 刪 秈 ■- 雀，4 ：’皤k k ■河南衙輔大孳碩士學(xué)位論文R “x S 1 ( n ) 中完備，一極小超曲面的一些結(jié)論學(xué)科、專業(yè)研究方向申請學(xué)位類別申 請 人指導(dǎo)教師基礎(chǔ)數(shù)學(xué)微分幾何理學(xué)碩士李俊濤攣興校教授二。一七年五月摘要本文討論了乘積空間R ”XS 1 ( 。) 中的，．極小超曲面．其中，若批為R “的標(biāo)準(zhǔn)體積元，則( R “，e - S d ／u ) 是標(biāo)準(zhǔn)的高斯空間．主要內(nèi)容分為兩部分．在第一部分，通過弓I 入

2、一個整體定義的光滑函數(shù)o ( 超曲面與s 1 ( 口) 的角度函數(shù)) ，并導(dǎo)出了一些有意思的S i m o n s 型微分恒等式，進(jìn)而證明了一些剛性的結(jié)論；在第二部分，我們對一些標(biāo)準(zhǔn)例子的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究．得到的主要定理如下：定理0 ．1 ( 見第三章定理3 ．2 —3 ．6 ) ．設(shè)z ：M ”- - + I R “X S 1 ( 口) 是一個完備定A p r o p e r 的t 廠一極小超曲面．( 1 ) 如果0 ：= 常數(shù)，則要

3、么a 三0 E 有z ( M “) = ∑”1 ×S 1a ) ，其中P 衛(wèi)1 是豫“中的s e l f - s h r i n k e r ，要么＆三1 且有z ( M ”) = 瓜“×{ 5 0 ) ，是一個s l i c e 超曲面．( 2 ) 如果a 不變號且有第- - - 5 本形式的模K I h I ∈L ；，則有x ( M ”) = E ”1 ×s 1 ( n ) ，或者，z ( M “) =

4、 1 R “×{ s o ) ．( 3 ) 如果I V h I ∈L ；且存在常數(shù)c ，0 < c < 1 ，使得2 1 W 1 2 ≤c l W l 2 ，以及l(fā) h l 2 ≤1 + n 2 ，則要么^ 三O J t z ( M “) = R “X { s o ] ．或碾一1 ×s 1 ( o ) ，要么l h i 2 三1 且z ( M “) = s ‘( ~ ／良) X瓞“一2 1 ×s

5、 1 ( 口) ，1 ≤島≤n ～1 ．( 4 ) 如果I h l 2 ≤2 0 2 且存在常數(shù)c ，0 < c < 1 ，使得I W l 2 ≤c I V ^ 1 2 ，則有z ( M ”) =1 R “×{ s o ) 或ⅡR ”一1 ×s 1 ( n ) ．( 5 ) 如果?2 ≤3 d 2 —1 ，且有I h l 2 一c o n s t 或者t V h I ∈L ；，則z ( M “) = 黔&

6、#215;{ s o ) ．( 6 ) 如果i ( 1 一n 2 一c ) 莖I h i 2 莖；( 1 一＆2 + c ) ，其中c = 1 , ／( 1 一Q 2 ) ( 1 —9 Q 2 ) ，則要／2 a x ( M ”) = Ⅱ娃”×{ s o ) 或Ⅱ≈”～1 ×s 1 ( n ) ，要么z ( 』M “) = s 2 ( ～／七) ×Ⅱ≈“一2 —1 Xs 1 ( f ] 1 ) ，1 ≤后墨