高數(shù)課后習題答案

1、習題 1?1 1. 設 A=(?∞, ?5)∪(5, +∞), B=[?10, 3), 寫出 A∪B, A∩B, A\B 及 A\(A\B)的表達式. 解 A∪B=(?∞, 3)∪(5, +∞), A∩B=[?10, ?5), A\B=(?∞, ?10)∪(5, +∞), A\(A\B)=[?10, ?5). 2. 設A、B是任意兩個集合, 證明對偶律: (A∩B)C=AC ∪BC 證明 因為 . x∈(A∩B)C?x?A

2、∩B? x?A或x?B? x∈AC或x∈BC ? x∈AC ∪BC所以 (A∩B), C=AC ∪BC 3. 設映射 f : X →Y, A?X, B?X . 證明 . (1)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (2)f(A∩B)?f(A)∩f(B). 證明 因為 y∈f(A∪B)??x∈A∪B, 使 f(x)=y ?(因為 x∈A 或 x∈B) y∈f(A)或 y∈f(B) ? y∈f(A)∪f(B), 所以 f(

3、A∪B)=f(A)∪f(B). (2)因為 y∈f(A∩B)??x∈A∩B, 使 f(x)=y?(因為 x∈A 且 x∈B) y∈f(A)且 y∈f(B)? y∈ f(A)∩f(B), 所以 f(A∩B)?f(A)∩f(B). 4. 設映射f : X→Y, 若存在一個映射g: Y→X, 使 X I f g = ? , Y I g f = ? , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對于每一個x∈X, 有IX x=x;

4、 對于每一個y∈Y, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f ?1證明 因為對于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I. y又因為對于任意的xy=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y的滿射. 1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)?g[ f(x1)]=g[f(x2)] ? x1=x2因此 f 既是單射, 又是滿射, 即 f 是

5、雙射. . 對于映射g: Y→X, 因為對每個y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且滿足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 解 由 x+1>0 得函數(shù)的定義域 D=(?1, +∞). (10) x e y1 = . 解 由 x≠0 得函數(shù)的定義域 D=(?∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各題中, 函數(shù) f(x)和 g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2(2)

6、 f(x)=x, g(x)=, g(x)=2lg x; 2 x ; (3) 3 3 4 ) ( x x x f ? = , 3 1 ) ( ? = x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x?tan2解 (1)不同. 因為定義域不同. x . (2)不同. 因為對應法則不同, x0, 1?x2>0. 因為當x1<x2時, 0 ) 1 )( 1 ( 1 1 2 12 12211 2 1 <