數(shù)學(xué)建模傳染病模型

1、傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。社會、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力 等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S 類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I 類，感病者(Infective)

2、，指染上傳染病的人，它可以傳播給 S 類成員；R 類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而 具有免疫力的人。問題提出 問題提出請建立傳染病模型，并分析被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報傳染病高潮的到來?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變？ 關(guān)鍵字 關(guān)鍵字:傳染病模型、建模、流行病摘要： 摘要：隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效

3、的控制。但是一些新的、不斷變異 著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20 世紀(jì) 80 年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。還有最近的 SARS 病毒和禽流感病毒，都對人類的生產(chǎn)生活造成了重大的損失。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知 識，這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型

4、機(jī)理建立幾種模型。模型 1 在這個最簡單的模型中，設(shè)時刻 t 的病人人數(shù) x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)， 病人人數(shù)的增加，就有 到 考察 的人數(shù)為常數(shù) 足使人致病 接觸 并且每天每個病人有效 t t t ? ? ? ) (t t x t x t t x ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ?程 有個病人，即得微分方 時有 再設(shè) 0 0 x t ?) 1 ( ) 0 ( , dd0 x x x tx ? ? ?方程（1）的解為 )

5、 2 ( ) ( 0t e x t x ? ?況。 ，這顯然不符合實際情 將被傳染，全變?yōu)椴∪思此腥私K 時 到來。第二，當(dāng) 可以推遲傳染病高潮的 健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平以改善保 越小衛(wèi)生水平越高。所 ， 表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平 成反比，因為日接觸率 與, 1 ? ? ? i ttm ? ? ?其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再 變成健康者。 模型 3 SIS 模型 有些病毒人在感染并治愈之后，

6、沒有免疫性，即還有可能再被感染。模型假設(shè) 在模型二假設(shè)條件的前提下我們再增加一個假設(shè)條件3.病人每天治愈的比例為 日治愈率。 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人 ? ? ? ? ?數(shù)模型構(gòu)成于是有（8） ? ? Ni(t) - t (t)i(t) i(t) - t) i(t N ? ? ? ? ? ? Ns可得微分方程 0 （9） i i(0) i - i) - (1 ? ? ?

7、 ?i dtdi得到（10） ? ? ) 1/ - (1 - - di ? ? i i dt ?模型 4 SIR 模型大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為 R 類SIR 模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并會產(chǎn)生免疫力， 變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動圖為：S-I-R。假設(shè)： 1 總?cè)藬?shù)為常數(shù) N，且 i（t）+s

8、（t）+r（t）=1； 2 .病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù) λ，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù) μ，顯然平均傳染期為 1／μ，傳染期接觸數(shù)為 σ=λ／μ。該模型的缺陷是結(jié)果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設(shè)有效接觸率傳染力是不變的。3 單位時間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù) l。稱為恢復(fù)系 數(shù)。在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：模型