數(shù)學建模題目及答案

1、 0 9 級數(shù)模試題 1 .把四只腳的連線呈長方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然后稍微挪動幾次， 就可以使四只腳同時著地， 放穩(wěn)了。 試作合理的假設并建立數(shù)學模型說明這個現(xiàn)象。（1 5 分） 解：對于此題，如果不用任何假設很難證明，結(jié)果很可能是否定的。 因此對這個問題我們假設 ： （1 ）地面為連續(xù)曲面 （2 ）長方形桌的四條腿長度相同 （3 ）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的 （4 ）方桌的腿只

2、要有一點接觸地面就算著地。 那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面。 現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如圖所示，方桌的四條腿分別在 A 、B 、C 、D 處，A 、B , C 、D的初始位置在與 x 軸平行， 再假設有一條在 x 軸上的線 a b , 則 a b 也與 A 、B ，C 、D 平行。當方桌繞中心 0 旋轉(zhuǎn)時，對角線 a b 與 x 軸的夾角記為θ 。 容易

3、看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 ( ) f θ 為 A 、B 離地距離之和，( ) g θ 為 C 、 D 離地距離之和， 它們的值由θ 唯一確定。 由假設 （1 ） ，( ) f θ , ( ) g θ 均為θ 的連續(xù)函數(shù)。 又由假設 （3 ） ， 三條腿總能同時著地，故 ( ) f θ ( ) g θ = 0 必成立 （? θ ） 。不妨設 (0) 0 f = , (0) 0 g &g

4、t; g （若 (0) g 也為 0 ，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)） ，于是問題歸結(jié)為： 已知 ( ) f θ , ( ) g θ 均為θ 的連續(xù)函數(shù)， (0) 0 f = , (0) 0 g > 且對任意θ 有 0 0 ( ) ( ) 0 f g θ θ = ，求證存在某一 0 θ ，使 0 0 ( ) ( ) 0 f g θ θ = 。 證明： 當θ= π時， A B 與 C D 互換位置， 故 ( ) 0 f π &