數(shù)與代數(shù)應用問題的內(nèi)容主線和教學建議

1、數(shù)與代數(shù)應用問題的內(nèi)容主線和教學建議北京教育學院數(shù)學系 北京教育學院數(shù)學系 張丹 張丹這里所指的“數(shù)與代數(shù)應用問題”（以下簡稱應用問題）是指運用數(shù)與代數(shù)的知識和方法解決實際生活中的問題，這無疑是學生學習數(shù)與代數(shù)的重要目標。要討論這個主題，首先需要說明的是本問為什么使用這個提法，卻沒有使用大家熟悉的“解決問題”和“算術應用題”。與“應用問題”相比，“解決問題”無疑是個更大范疇的概念。這既包括所涉及的領域不僅僅是數(shù)與代數(shù)的應用，還包括空間與

2、圖形、統(tǒng)計與概率以及綜合運用所有領域的知識和方法；同時解決問題也不僅僅局限于解決實際問題，還包括解決數(shù)學內(nèi)部的問題。更為重要的，本文所持的觀點是把解決問題中的“問題”解釋為“非常規(guī)”的，學生必須經(jīng)歷探索、適當?shù)膭?chuàng)造并綜合運用數(shù)學知識和方法加以解決的問題，即“問題解決”（Problem Solving）。即使都是解決實際問題，解決問題中的“問題”是具有真實意義的問題，它與學生的實際生活密切相關，往往需要考慮現(xiàn)實生活中的諸多因素，從而具有開

3、放的特點。解決這些問題，學生并無類似熟悉的題目和解法去模仿，需要學生進行探索、討論和一定的創(chuàng)造。而應用問題中的“問題”，盡管提倡要符合學生實際，并且力求具有一定的開放性，但總體來說，問題已經(jīng)經(jīng)過了一定的簡化，背景相對簡單，其中蘊含的數(shù)量關系也往往是學生熟悉的，因此學生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關系，并聯(lián)系所學的知識和方法加以解決。需要指出的是，對比兩者并不是說我們不提倡解決問題，而主要是為了界定這里所討論的主題。實際上，我們更應以

4、解決問題為理念和目標，指導應用問題的教學，比如注重學生思考的過程，設計的題目要符合學生的生活經(jīng)驗，適當設計具有開發(fā)性的問題。算術應用題是傳統(tǒng)小學數(shù)學課程的重要內(nèi)容，在《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）中沒有使用算術應用題的名詞，并且提倡將計算和應用結合起來，這并不是削弱應用題的教學。實際上，傳統(tǒng)算術應用題教學在整個小學階段對學生發(fā)展產(chǎn)生了重要的作用，但也確實存在著一些問題：第一，在學生解答的應用題中，很大一部分

5、的內(nèi)容遠離他們的生活，造成了應用題“不應用”。第二，過于注重問題的類型和固定解法，套搬題型的現(xiàn)象比較嚴重。誠然，這樣做可以提高學生解符合“題型”的問題時的速度。但設置應用題的目的是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，如果忽視對問題實際意義和數(shù)學意義的理解，只是套搬題型，學生的解決問題的能力又如何能提高？同時，原有應用題的分類，在數(shù)學邏輯上無疑是正確的，但是否是學生真正思考問題和解決問題的途徑呢，學生是否必須要經(jīng)歷分辨題型才能解決問題呢，這些都需

6、要認真思考。第三，呈現(xiàn)形式單一，基本上是純文字敘述，同時所提供的信息往往是不多不少，這既無法激發(fā)學生解決問題的動機，又與信息及其呈現(xiàn)形式豐富的現(xiàn)實世界不相符合。這些問題都在一定程度上造成了學生一接觸到生活中的實際問題，往往感到無從著手。第四，目前在小學高年級將使用方程解決應用題，再使用算術應用題的提法顯然也不科學。隨著代數(shù)的方法不斷四則運算實際背景的不斷豐富構成了教材編寫的一條線索，教師應該對此加以梳理，并且思考如何能幫助學生理解和積累

7、這些背景。1.注重 注重“實際背景 實際背景”的積累 的積累“以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運算的模型”[1]。文中的“合并”、“移入”等筆者理解實際上就是指四則運算的實際背景。例如，對于乘法的學習，在二年級開始時，教材一般會提供一些具有“相等的數(shù)的和”的結構的實際情境，然后從中抽象出乘法；然后，學生

8、將開始接觸到具有“倍”的實際情境；在三年級面積學習時，學生又接觸到乘法在“求長方形面積”的實際情境中的運用。這些對于乘法實際背景的積累將一直延伸到小數(shù)、分數(shù)的乘法，特別是對于“倍”的認識，將擴充到“幾分之幾”。有關“組合”的實際情境在小學教材中也出現(xiàn)，比如搭配問題，但在小學鼓勵學生通過操作、畫圖等策略加以解決，意在發(fā)展學生解決問題的策略，而不需要總結公式。由于實驗教材對于運算的實際背景大多安排為“暗線”，這就需要教師對教材進行系統(tǒng)梳理，

9、找到實際背景不斷擴充的這條線索。有的教師可能會產(chǎn)生這樣的疑問，這和原來的十一類簡單應用題類型又有什么不同呢？首先，我們不難看出，實際背景更加豐富了，比如乘法中的面積計算的實際背景。更主要的是，教師明確這些蘊含一定“數(shù)學結構”的實際背景，不是要讓學生去背誦類似“一個數(shù)的幾倍是多少”的類型，而是提醒教師，學生此處增加了新的實際背景，學生也許不能從以前的實際背景的經(jīng)驗出發(fā)直接還原到運算意義，而是需要經(jīng)歷將新的實際背景與運算意義進行聯(lián)系的過程，

10、此時在教學中的重點應放在如何實現(xiàn)聯(lián)系上了。至于二者到底還有什么區(qū)別，這正是一個值得研究的問題。2.生活經(jīng)驗、操作、畫圖的重要性 生活經(jīng)驗、操作、畫圖的重要性那么，進一步如何實現(xiàn)實際背景與運算意義之間的聯(lián)系呢？為了使大家更好地理解，我們對比一下兩條途徑。第一條：問題情境——問題類型——運算意義第二條：問題情境——經(jīng)驗、操作、畫圖等—運算意義在第一條套用類型的教學中，學生需要將問題情境中的數(shù)量關系與類型相對應，然后決定用什么運算。比如，看一