教案微分中值定理

1、[鍵入文字]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案17西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組時(shí)間月日星期課題3.1微分中值定理微分中值定理教學(xué)目的理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學(xué)重點(diǎn)羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。課型基礎(chǔ)課備課組備課組教法選擇講授教學(xué)過程教法運(yùn)用及板書要點(diǎn)一、羅爾定理一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對于在上每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線，且兩端點(diǎn)][bax的連線與軸平

2、行的不間斷的曲線來說，至少存在一點(diǎn)C，使得其x)(xf切線平行于軸。xCAB從圖中可以看出：符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬（Fermat）引理費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義?并且在)(xf0x)(0xU處可導(dǎo)?如果對任意?有(或)?那么0x)(0xUx?)()(0xfxf?)()(0xfxf??0)(0?xf證明：不妨設(shè)時(shí)，（若，可以類似地)(0xUx?)()(0xfxf

3、?)()(0xfxf?ab1?2?xyo)(xfy?[鍵入文字]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案37西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組有.))31(1(1????0)(???f說明：說明：1若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足其結(jié)論可能不成立2使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個.?【例2】證明方程有且僅有一個小于1的正實(shí)根.0155???xx證明：證明：設(shè)則在上連續(xù)，且15)(5???xxxf)(xf]10[.3)1(1)0(

4、???ff由介值定理存在使即為方程的小于1的正實(shí)根.)10(0?x0)(0?xf0x設(shè)另有使因?yàn)樵谥g滿足羅)10(011xxx??.0)(1?xf)(xf10xx爾定理的條件所以至少存在一個（在之間）使得.?10xx0)(???f但矛盾所以為方程的唯一實(shí)根.)1(5)(4???xxf))10((0??x0x2、拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理在羅爾定理中，第三個條件為(iii)，然而對一般的函數(shù)，)()(bfa

5、f?此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結(jié)論相應(yīng)地要改變，這就是拉格朗日拉格朗日中值定理：定理定理2：若函數(shù)滿足：(i)在上連續(xù)；)(xf][ba(ii)在上可導(dǎo)；)(xf)(ba則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，)(ba?使得。abafbff????)()()(?即()()()()fbfafbax￠=若此時(shí)，還有，?？梢娏_爾中值定理是拉格拉格)()(bfaf?0)(????f朗日朗日中值定理的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明