圓錐曲線的定值最值與定點(diǎn)問題和圓錐曲線中的“定值”問題

1、1探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題 探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題圓錐曲線中的最值與定值問題，是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型，將函數(shù)與解析融為一體，要求有較強(qiáng)的綜合能力，例析如下。、、 定值問題 值問題解決定 解決定值問題 值問題的方法：將 的方法：將問題 問題涉及的幾何式 涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式， 代數(shù)式或三角式，證明該式的 式的值與參數(shù)無關(guān)。 與參數(shù)無關(guān)。例 1 A、B 是拋物 是拋物線 （p＞0）上的兩點(diǎn)，

2、且 ）上的兩點(diǎn)，且 OA⊥OB，求 ，求證： 2 2 y px ?（1）A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；（2）直線 AB 經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。證明：（1）設(shè) A（ ）、B（ ），則 ， 。 1 1 , x y 2 2 , x y 2 1 1 2 y px ? 22 2 2 y px ?∵ = ，∴ 為定值， 2 21 2 1 2 2 2 y y px px ? ? ? 2 21 2 1 2 4 4 p x x p y y ?

3、 ? 21 2 4 y y p ? ?也為定值。 21 2 1 2 4 x x y y p ? ? ?（2）∵ ，∵ ，∴ 2 22 1 2 1 2 1 1 2 ( )( ) 2 ( ) y y y y y y p x x ? ? ? ? ? ? 1 2 x x ? 2 12 1 1 22 y y px x y y? ? ? ?∴直線 AB 的方程為：2 11 11 2 1 22 y p y y x y y y y y ? ? ? ?

4、? ?21 2 1 22 4 p p x y y y y ? ? ? ?，∴直線 AB 過定點(diǎn)（2p，0）。1 22 ( 2 ) p x p y y ? ? ?例 2 已知拋物 已知拋物線方程 方程為 ，點(diǎn) ，點(diǎn) A、B 及點(diǎn) 及點(diǎn) P(2，4)都在拋物 都在拋物線上， 上， 2 12 y x h ? ? ?直線 PA 與 PB 的傾斜角互 斜角互補(bǔ)。（1）試證明直線 AB 的斜率為定值；（2）當(dāng)直線 AB 的縱截距為 m（m＞0）時(shí)，

5、求△PAB 的面積的最大值。3到自 到自變量的范 量的范圍；二是幾何法，考 ；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意 某些量的幾何特征及意義，利用 ，利用圖形性 形性質(zhì)求解。 解。例 3 求橢圓 橢圓 上的點(diǎn) 上的點(diǎn) P 到直 到直線 L：x－2y－12=0 的最大距離和最小 的最大距離和最小2 21 16 12x y ? ?距離。 距離。方法 1：（求切點(diǎn)）設(shè)與 L 平行的直線與橢圓相切于點(diǎn) P(x ，y )，由橢圓方程 0 0得此切線

6、方程 ，∵ ，∴ ，即 2 2 3 4 48 x y ? ? 0 0 3 4 48 x x y y ? ? 12 k ? 003 14 2xy ? ?（1），又 （2），解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為 P （－2，3）P 0 0 3 2 0 x y ? ? 2 20 0 3 4 48 x y ? ? 1 2（2，－3）。設(shè)點(diǎn) P 到直線 L 的距離為 d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得 ， max 4 5 d ?。 min4 5 5 d ?方法

7、 2：（判別式法）設(shè)與 L 平行的橢圓的切線方程為 x－2y+m=0，代入橢圓方程，消去 x 得 ，由△= 2 2 16 12 3 48 0 y my m ? ? ? ? 2 2 ( 12 ) 4 16 (3 48) 0 m m ? ? ? ? ? ?得 ， 。 2 64 m ? 8 m ? ?當(dāng) m=8 時(shí)，切線方程 x－2y+8=0，此時(shí) ，切點(diǎn)為 P （－2，3）； 12 3 2 16m y ? ? ?1當(dāng) m=－8 時(shí)，切線方程

8、 x－2y－8=0，此時(shí) ，切點(diǎn)為 P （2，－ 12 3 2 16m y ? ? ? ?23）設(shè)點(diǎn) P 到直線 L 的距離為 d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得 ， max 4 5 d ?。 min4 5 5 d ?方法 3：（參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn) P(4cosθ， sinθ)，它到直線 L 的距離 2 3為 ，∴當(dāng) 時(shí)， | 4cos 4 3sin 12 | 8 5 3 | sin( ) | 5 6 2 5d ? ? ? ? ? ?