復(fù)變函數(shù)在解決實函數(shù)問題中的若干應(yīng)用

1、1關(guān)于復(fù)變函數(shù)在解決實函數(shù)問題中的若干應(yīng)用 關(guān)于復(fù)變函數(shù)在解決實函數(shù)問題中的若干應(yīng)用摘要：實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的貫穿于我們高中和大學(xué)的數(shù)學(xué)之中，我們通過學(xué)習(xí)了解了部分實函數(shù)和復(fù)函數(shù)的知識點，我們發(fā)現(xiàn)這些知識點有著深刻的聯(lián)系。我們知道復(fù)函數(shù)分為實部和虛部，那么我們研究能不能把要求的實函數(shù)當(dāng)做一個復(fù)函數(shù)的實部或虛部，進而利用復(fù)函數(shù)的知識來處理有關(guān)實函數(shù)的問題。關(guān)鍵詞：實函數(shù) 復(fù)函數(shù) 構(gòu)造 求解復(fù)變函數(shù)論中的 柯西-黎曼方程、柯西積分，解析函

2、數(shù)的冪級數(shù)表達式，牛頓萊布尼茨公式等，那么它與我們經(jīng)常使用的實函數(shù)有什么關(guān)系，其相關(guān)知識點能否運用在實函數(shù)的解題上面，下面我們將從幾個方面來探究其在實函數(shù)上 的應(yīng)用。1 預(yù)備知識[1]定理 1 若（1）函數(shù) 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)；（2） 沿區(qū)域 D 內(nèi) ( ) f z ( ) f z dz ?任一圓周的積分值為零（從而積分與路徑無關(guān)） ，則函數(shù)（ 為 D 內(nèi)一定點）0 ( ) ( )zz F Z f d ? ? ? ? 0 z在 D

3、 內(nèi)解析，且 . '( ) ( ) F Z f z =定義 2 在區(qū)域 D 內(nèi)，如果函數(shù) 連續(xù)，則稱符合條件 ( ) f z（ ） '( ) ( ) z f z F = z D ?的函數(shù) 為 的一個不定積分或原函數(shù)（顯然 必在 D 內(nèi)解析） 。 ( ) F z ( ) f z ( ) z F定理 3 在定理（1）或定義（2）的條件下，如果 為 的單連通區(qū)域 D ( ) z F ( ) f z內(nèi)的任意一個函數(shù)，則0 0 (

4、 )zz z z f d F F ? ? ? ? ?定理 4 設(shè) 為 的 階極點， ，其中 在 點解析， a ( ) f z n ( ) ( ) ( )nz f z z a? ? ? ( ) z ? a則 ( ) 0 a ? ?( 1)( ) Re ( ) ( 1)!nz aa s f z n? ?? ? ?這里 ， 。 0( ) ( ) a a ? ? ? ( 1) ( 1) ( ) ( ) n nz a a Lim z ? ? ?

5、 ?? ?引理 1 （若當(dāng)引理） 設(shè)函數(shù) 沿版圓周 （ 充分 ( ) f z : ReiR S z ? ? 0 , R ? ? ? ?3= ( ) f x cosax e bxdx ?= ( ) g x sinax e bxdx ?= ( ) F x ( ) ( ) ( ) F x f x ig x = += + ( ) F x cosax e bxdx ? i sinax e bxdx ?=ax ibx e dx? ?=ax ibx

6、ea ib++1 2 c ic + += 2 2( )(cos sin ) ax e a ib bx i bxa b- ++= 2 2[ cos sin ( sin sin )] ax a bx b bx i a bx b bx e a b+ + -+此時= ( ) f x 2 2( cos sin ) Re ( ) ax a bx b bx F x e a b+ = +1 c +2 2 2( sin sin ) ( ) Im ( )a

7、x e a bx b bx g x F x c a b- = = + +由此可以看出復(fù)函數(shù)積分可以快速解決形如cosax e bxdx ? sinax e bxdx ?2 2 ( 0) a b ? ?的問題，但是其解決的問題只是我們常見問題中的很小一部分，我們常見的積 分不只是這種情況，更多的是型如：， ( ) cos ax c dx e bxdx ? ? ( ) sin ax c dx e bxdx ? ?2 2 ( 0) a b

8、? ? ( , , , , ) a b c d R x R Î Î我們是否也可以借助復(fù)變的相關(guān)知識解決問題。例 2.2 2.2 計算積分( ) sin ax c dx e bxdx ? ?解法 解法 1 我們利用實函數(shù)的分部積分方法來解決問題。解法 解法 2 令( ) ( ) cos ax f x A Bx e bxdx ? ? ? ( ) ( ) sin ax g x A Bx e bxdx ? ? ?( )