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1、- 1 -高考數(shù)學離心率 高考數(shù)學離心率離心率歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點,對于求圓錐曲線離心率的問題,通常有 圓錐曲線離心率的問題,通常有兩類:一是求橢圓和雙曲線的離心率;二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍, 兩類:一是求橢圓和雙曲線的離心率;二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍,屬于中低檔次的題型,對大多數(shù)學生來說是沒什么難度的。一般來說,求橢圓(或雙曲線)的離心 一般來說,求橢圓(或雙曲線)的離心率,只需要由條件得到一個關(guān)于基本
2、量 率,只需要由條件得到一個關(guān)于基本量 a,b,c,e 的一個方程,就可以從中求出離心 的一個方程,就可以從中求出離心率. 率.但如果選擇方法不恰當,則極可能“小題”大作,誤入歧途。許多學生認為用一些所謂的“高級”結(jié)論可以使結(jié)果馬上水落石出,一針見血,其實不然,對于這類題,用最淳樸的定義來解題是最好的,此時無招勝有招!【例 1】 1 2 21 2(05 , ,2 2 1 A. B. C. 2 2 D. 2 1
3、 2 2F F F PF PF ?全國Ⅲ) 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點若為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是( )- --[解法一 解法一](大多數(shù)學生的解法)解:由于 為等腰直角三角形,故有 1 2 F PF ?,而 , 1 2 2 F F PF ? 1 2 2 F F c ?22b PF a ?所以 ,整理得22 b c a ? 2 2 2 2ac b a c ? ? ?等式兩邊同時除以 ,得 ,即 , 2
4、a 2 2 1 e e ? ? 2 2 1 0 e e ? ? ?解得 ,舍去 2 8 1 2 2 e ? ? ? ? ? ? 1 2 e ? ? ?因此 ,選 D 1 2 e ? ? ?[解法二 解法二](采用離心率的定義 定義以及橢圓的定義 定義求解)解:如右圖所示,有1 22 22 | | | |2 12 12 2 2 2 1c c c e a a PF PFcc c? ? ? ?? ? ? ?? ?離心率的定義橢圓的定義故選 D
5、[評]- 3 -A. B. C. D. 3 2 4 ? 1 3 ? 21 3 ? 1 3 ?8.雙曲線 ( , )的左、右焦點分別是 ,過 作傾斜2 22 2 1 x ya b ? ? 0 a ? 0 b ? 1 2 F F , 1 F角為 的直線交雙曲線右支于 點,若 垂直于 軸,則雙曲線的離心率 30? M 2 MF x為( )BA. B. C. D. 6 3 2 339、設(shè) F1,F(xiàn)2 分別是雙曲線 的左、右焦點,若雙曲線上存
6、在點 A,使∠2 22 2 1 x ya b ? ?F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線離心率為(A)(B) (C) (D) 52102152 5解.設(shè) F1,F(xiàn)2 分別是雙曲線 的左、右焦點。若雙曲線上存在點 A,使∠2 22 2 1 x ya b ? ?F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,設(shè)|AF2|=1,|AF1|=3,雙曲線中 , 1 2 2 | | | | 2 a AF A
7、F ? ? ?,∴ 離心率 ,選 B。 2 21 2 2 | | | | 10 c AF AF ? ? ? 102 e ?10、如圖, 和 分別是雙曲線 的兩個 1 F 2 F2 22 2 1( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ?焦點, 和 是以 為圓心,以 為半徑的圓與該雙曲線 A B O 1 F O左支的兩個交點,且△ 是等邊三角形,則雙曲線的離心 AB F2率為(A) (B) (C) (D) 3 5 25 3 1?
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