如何求圓錐曲線的離心率123

1、1如何研究圓錐曲線離心率的問(wèn)題如何研究圓錐曲線離心率的問(wèn)題南京市第一中學(xué)（南京市第一中學(xué)（210001210001）孔凡?？追埠Ｔ谛抡n程中，圓錐曲線的離心率問(wèn)題是高考中?？嫉膯?wèn)題，通常有兩類(lèi)：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍。由于它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問(wèn)題，方程組與不等式的求解問(wèn)題，等等，所以相對(duì)比較復(fù)雜，學(xué)生常常感到難以下手，不好把握。下面就通過(guò)近年的一些高考題和模擬題的分析、研究和求

2、解，總結(jié)出一般的解題策略和方法。1求圓錐曲線離心率的值例1（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以O(shè)為圓心，12222??byax)0(??bac2為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=a????????02caePBAOyx分析分析：如圖，，與圓O相切，由于切線，互相垂直，所以四邊形OAPB為正方形，PAPBPAPB，這樣就得到一個(gè)關(guān)于基本量，的齊次方程，從而求解出比值的值。OAOP2?ac)(eac?解：由已知

3、條件，四邊形OAPB為正方形，所以，所以，解出OAOP2?aca22?，即22?ac22?e例2（2010南通二模）A，B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且與實(shí)軸垂直，若，則雙曲線C的離心率=。0??AQPBe分析分析：直線l的任意性，取特殊情況，例如，這樣可以得到結(jié)果。當(dāng)然我們應(yīng)用多項(xiàng)式恒等于0，cx?可以得到對(duì)應(yīng)的系數(shù)為0，從而得到一個(gè)關(guān)于基本量的方程，再解出比值的值。)(eac?解：不妨設(shè)雙曲線C的方程

4、，則，，12222??byax)00(??ba)0(aA?)0(aB根據(jù)已知條件，設(shè)，，所以，，)(yxP)(yxQ?)(yxaPB???)(yaxAQ???3而，，ccaFA??2所以，解出，ccaexa???2)(12cacaex???由于，所以，又，所以，axa???acacaea?????)(12ace?0122???ee即，又，所以0)1)(12(???ee10??e121??e例4（2009重慶理）已知雙曲線22221(00

5、)xyabab????的左、右焦點(diǎn)分別為12(0)(0)FcFc?，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是caFPFFPF???1221sinsin分析：分析：由正弦定理，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，，eacPFPF??2121PFePF?aPFPF221??所以易得到，。因?yàn)?，所以P點(diǎn)在121??eaePF122??eaPF1?e雙曲線的右半支上，如果我們考慮幾何的大小，易知，得到一個(gè)關(guān)于基本量，，，caPF??1abc

6、的不等式，從而求出離心率的范圍；如果我們考慮，通過(guò)設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，注意到雙曲線本ee)(yxP身的范圍，也可以求出離心率的范圍。e解法解法1：在中，由正弦定理得，，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，21FPF?eacPFPF??2121PFePF?，所以易得到，，aPFPF221??121??eaePF122??eaPF由已知，，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以，21PFPF?acPF??1所以，，因?yàn)?，所以，所以。aceae???121?e01