32位單精度浮點(diǎn)數(shù)的ieee表示法

1、float共計(jì)32位(4字節(jié))31位是符號(hào)位，1表示該數(shù)為負(fù)，0反之30~23位，一共8位是指數(shù)位(-128~127)22- 0位，一共23位是尾數(shù)位，尾數(shù)的編碼一般是原碼和補(bǔ)碼IEEE標(biāo)準(zhǔn)從邏輯上用三元組｛S,E,M｝表示一個(gè)數(shù)N,如下圖所示：最高位 最倨仲S Mn = (―x m x 2en,s,e,m分別為N,S,E,M對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)值，而N,S,E,M僅僅是一串二進(jìn)制位。★ S(sign)表示N的符號(hào)位。對(duì)應(yīng)值s滿足：n>0

2、時(shí)，s=0; n<0時(shí)，s=1。★ E(exponent)表示N的指數(shù)位，位于S和M之間的若干位。對(duì)應(yīng)值e值也可正可負(fù)?！?M(mantissa)表示N的尾數(shù)位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效數(shù)字位(sinificand)、 系數(shù)位(coefficient),甚至被稱作''小數(shù)“。IEEE標(biāo)準(zhǔn)754規(guī)定了三種浮點(diǎn)數(shù)格式：單精度、雙精度、擴(kuò)展精度。前兩者正好對(duì)應(yīng)C語 言里頭的float、double或者FORTRAN

3、里頭的real、double精度類型。限于篇幅，本文僅 介紹單精度、雙精度浮點(diǎn)格式。★單精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位?！镫p精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。值得注意的是，M雖然是23位或者52位，但它們只是表示小數(shù)點(diǎn)之后的二進(jìn)制位數(shù)， 也就是說，假定M為''010110011...〃，在二進(jìn)制數(shù)值上其實(shí)是“.010110011...“。而事實(shí)上， 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定小數(shù)點(diǎn)左邊還有一個(gè)隱

4、含位，這個(gè)隱含位通常，哦不，應(yīng)該說絕大多數(shù)情況下是1， 那什么情況下是0呢？答案是N對(duì)應(yīng)的n非常小的時(shí)候，比如小于2八(-126)(32位單精度 浮點(diǎn)數(shù))。不要困惑怎么計(jì)算出來的，看到后面你就會(huì)明白?？傊?，隱含位算是賺來了一位 精度，于是M對(duì)應(yīng)的m最后結(jié)果可能是“m=1.010110011...“或者“m=0.010110011...“四、計(jì)算e、m首先將提到令初學(xué)者頭疼的''規(guī)格化(normalized)“、'

5、;'非規(guī)格化(denormalized)“。噢，其 實(shí)并沒有這么難的，跟我來！掌握它以后你會(huì)發(fā)現(xiàn)一切都很優(yōu)推更美妙的是，規(guī)格化、非 規(guī)格化本身的概念幾乎不怎么重要。請(qǐng)牢記這句話：規(guī)格化與否全看指數(shù)E！下面分三種情況討論E，并分別計(jì)算e和m:1、規(guī)格化：當(dāng)E的二進(jìn)制位不全為0,也不全為1時(shí)，N為規(guī)格化形式。此時(shí)e被解釋為表示偏置(biased)形式的整數(shù),e值計(jì)算公式如下圖所示：上圖中，|E|表示E的二進(jìn)制序列表示的整數(shù)值，例如E

6、為“10000100”,則|E| = 132,e=132-127=5。k則表示E的位數(shù)，對(duì)單精度來說，k=8，則bias=127,對(duì)雙精 度來說，k=11，則 bias=1023。此時(shí)m的計(jì)算公式如下圖所示：標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定此時(shí)小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的隱含位為1,那么m=|1.M|0 如 M=“101”，則|1.M| = |1.101| = 1.625，即 m=1.625(.101 = 2八(-1)*1 + 2八(-2)*0 + 2八(-3)*1 = 0.

7、625)2、 非規(guī)格化：當(dāng)E的二進(jìn)制位全部為0時(shí)，N為非規(guī)格化形式。此時(shí)e，m的計(jì)算都 非常簡單。注意，此時(shí)小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的隱含位為0。 為什么e會(huì)等于(1-bias)而不是(-bias)，這主要是為規(guī)格化數(shù)值、非規(guī)格化數(shù)值之間的平滑過渡設(shè)計(jì)的。后文我們還會(huì)繼續(xù)討論。有了非規(guī)格化形式，我們就可以表示0 了。把符號(hào)位S值1,其余所有位均置0后，我 們得到了 -0.0;同理，把所有位均置0,則得到+0.0。非規(guī)格化數(shù)還有其他用途，比如表示 非常

8、接近0的小數(shù)，而且這些小數(shù)均勻地接近0,稱為''逐漸下溢(gradually underflow)7屬性。3、 特殊數(shù)值：當(dāng)E的二進(jìn)制位全為1時(shí)為特殊數(shù)值。此時(shí)，若M的二進(jìn)制位全為0， 則n表示無窮大，若S為1則為負(fù)無窮大，若S為0則為正無窮大；若M的二進(jìn)制位不全 為0時(shí)，表示NaN(Not a Number)，表示這不是一個(gè)合法實(shí)數(shù)或無窮，或者該數(shù)未經(jīng)初始 化。五、范例仔細(xì)研讀第四點(diǎn)后，再回憶一下文章開頭計(jì)算n的公式

9、，你應(yīng)該寫出一個(gè)浮點(diǎn)編碼的 實(shí)際值n 了吧？還不能嗎？不急，我先給你示范一下。我們假定N是一個(gè)8位浮點(diǎn)數(shù)，其 中，S占1位，E占4位，M占3位。下面這張表羅列了 N可能的正數(shù)形式，也包含了 e、 m等值，請(qǐng)你對(duì)照著這張表，重溫一下第四點(diǎn)，你會(huì)慢慢明白的。說實(shí)在的，這張表花了 我不少功夫呢，幸好TeX畫表格還算省事！這張表里頭有很多有趣的地方，我提醒一下：★看N歹U，從上到下，二進(jìn)制位表示是均勻遞增的，且增量都是一個(gè)最小二進(jìn)制位。 這不是

10、偶然，正是巧妙設(shè)計(jì)的結(jié)果。觀察最大的非規(guī)格數(shù)，發(fā)現(xiàn)恰好就是M全為1, E全為 0的情況。于是我們求出最大的非規(guī)格數(shù)為：上面的公式中，h為M的位數(shù)(如范例中為3)。注意，公式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)同時(shí)又是 最小規(guī)格數(shù)的值(如范例中為8/512 );第二項(xiàng)則正是最小非規(guī)格數(shù)的值(如范例中為1/512) 即該浮點(diǎn)數(shù)能表示的最小正數(shù)?！锟磎歹L規(guī)格化數(shù)都是1+ x的形式，這個(gè)1正是隱含位1;而非規(guī)格化數(shù)隱含 位為0,所以沒有“1+“?！锟磏列，非規(guī)