聲學(xué)中波動方程的建立

1、田佳星 海洋技術(shù) 12020041049今天我介紹一下聲學(xué)中波動方程的建立。我們首先介紹一下聲學(xué)的基本概念。聲波是機械振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播。 存在聲波的空間稱為聲場。 理論上描述聲場需要引入一些物理量：聲壓、位移、振速、密度壓縮量和相位等。通常采用上述各物理量的時空分布函數(shù)描述聲場。下面對這些物理量作簡要介紹。1. 基本概念1) 1) 聲壓（標量） 聲壓（標量）聲波為壓縮波。描述“壓縮”過程的一個物理量是壓強。然而，聲波是聲擾動 （如

2、振動源） 引起介質(zhì)中的壓強發(fā)生變化的部分。 因此， 我們引入聲壓的概念：聲壓 p 為介質(zhì)壓強的變化量：p ? P ? P 0 (2-1)其中， P 是壓強， P0 是介質(zhì)中的靜態(tài)壓強。聲壓是描述波動的物理量。為使用方便，還由聲壓引入了瞬時聲壓p 、峰值聲壓 p0 和有效聲壓 pe。聲場中某瞬時的聲壓稱為瞬時聲壓。 一定時間間隔內(nèi)的最大瞬時聲壓稱為峰值聲壓。瞬時聲壓在一定時間間隔內(nèi)的均方根值稱為有效聲壓，即12 p dt (2-2) pe

3、 ? ?T0T對簡諧聲波， p 、 p0 和 pe相互之間的關(guān)系和電壓可作相同類比，即p ? p0 exp[ j? t]pe ? p0 2 。一般儀器儀表測得是有效聲壓。2) 2) 位移和振速（矢量） 位移和振速（矢量）質(zhì)點位移是指介質(zhì)質(zhì)點離開其平衡位置的距離。 質(zhì)點振速是介質(zhì)質(zhì)點瞬時振動的速度。兩者均是有大小和方向的量，即矢量，相互關(guān)系為u ? d? dt (2-3)對簡諧振動，位移和振速都滿足如下關(guān)系：? ? ?0 exp[ j?t

4、]， (2-4a)u ? u0 exp[ j?t] ， (2-4b)其中，?0 和u0 分別為位移幅值和振速幅值。需要注意的是區(qū)分質(zhì)點振速和聲傳播速度。 聲傳播速度是指振動狀態(tài)在介質(zhì)中傳播的速度， 而質(zhì)點振速是指在給定時間和給定空間位置的某一質(zhì)點的振動速理論推導(dǎo)見教材。連續(xù)性方程即質(zhì)量守恒定律： 介質(zhì)流入體元的凈質(zhì)量等于密度變化引起的體元內(nèi)質(zhì)量的增加。?? ? ?????u? (2-6) ?t根據(jù)假設(shè)條件有：?? ? ??? ??0u?

5、 (2-7) ?t事實上，當介質(zhì)本身有流動時，u 中含有介質(zhì)流動速度的影響，相關(guān)理論可參閱朗道著《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)》?？紤]到假設(shè)介質(zhì)是靜止的， (2-6)式和(2-7)式中沒有考慮介質(zhì)流動速度的影響。（2） 狀態(tài)方程 狀態(tài)方程在理想流體介質(zhì)聲傳播過程中，還沒有來得及進行熱交換，聲波傳播（介質(zhì)的壓縮和膨脹）的力學(xué)過程已經(jīng)完成，這一過程近似為絕熱過程，即無熱傳導(dǎo)。絕熱過程中，? ?P ? dP ? ? ? ?d? ? c2d? (2-8)? ?

6、? ?s其中，定義? ?P ? c2 ? ? ? ， (2-9)? ?? ?sP 為壓強， ? 為密度，下標 s 表示絕熱過程。本節(jié)后面討論波動方程的解時，可知c 為聲波在介質(zhì)中的傳播速度。聲速是介質(zhì)固有的特性， 是由介質(zhì)的物理參數(shù)所確定的。 下面由理想流體介質(zhì)的絕熱狀態(tài)方程導(dǎo)出聲速c 和介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系。一定質(zhì)量理想流體的絕熱狀態(tài)方程為P ?? ? P0 ? ?0(2-10)其中， P0 和 ?0 分別為平衡態(tài)下流體的壓強和密度， ?