兩類Kirchhoff型方程解的存在性和多重性.pdf

1、考慮帶有臨界指數(shù)增長項的Kirchhoff型方程｛-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f（x，u）+u5,x∈Ω,u=0,x∈(a)Ω，(1)其中Ω是R3中一個非空有界開集有足夠光滑的邊界(a)Ω，a≥0，b＞0，且f(x，t):(Ω)×R是一個連續(xù)函數(shù).
　　 對于退化的Kirchhoff型方程，我們利用變分方法，對能量泛函進行上界估計和局部的(PS)條件的證明，最后利用山路引理得到了如下結論.
　　 定理1假設a=0

2、，b＞0及（f'1）f∈C(Ω×R+，R)和limt→0+f(x,t)/t3=0，limt→+∞f(x,t)/t5=0關于幾乎處處x∈Ω一致成立.（f'2）存在常數(shù)ρ，ρ＞4，使得0＜ρF(x，t)≤f(x，t)t對于x∈Ω，t∈R+\{0}成立(其中F(x，t)是f(x，t)關于t的原函數(shù)，即F(x，t)=∫t0f(x,s)ds對于x∈Ω及t∈R）.
　　 那么方程(1)至少有一個正解.
　　 利用相似的方法，我們可以

3、得到非退化情況下，有如下結論.
　　 定理2假設a＞0，b＞0及(f1)f∈C(Ω×R+，R)和limt→0+f(x,t)/t=0，limt→+∞f(x,t)/t5=0關于幾乎處處x∈Ω一致成立.（f2）存在常數(shù)ρ，ρ＞5，使得0＜ρF(x，t)≤f(x，t)t對于x∈(Ω)及t∈R+\(0)成立.那么方程(1)至少有一個正解.
　　 考慮下面的Kirchhoff型方程｛-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f(x，u),

4、x∈Ω,u=0.x∈(a)Ω，(2)其中Ω是RN的非空有界開集，a，b＞0，f(x，t):(Ω)×R連續(xù)函數(shù)且是次臨界增長的，即存在正常數(shù)C，使得|f(x，t)|≤C(|t|p-1+1),2＜p＜2*=｛2N/N-2,N≥3∞，N=1，2.(3)
　　 對于如下非線性問題的特征值｛-(∫Ω|▽u|2dx)△u=μu3,x∈Ω,u=0，x∈(a)Ω.且記最小的特征值為μ1.
　　 我們利用山路引理，對于超線性增長的情況得出