關(guān)于Erdos的一個(gè)猜想.pdf

1、數(shù)學(xué)大師Erdos一生提出了許許多多的猜想，給后人提供了很多值得研究和探討的問題.我們的文章就是圍繞Erdos的一個(gè)猜想展開的討論.具體工作如下：
　　本文研究了由不超過n的正整數(shù)構(gòu)成的，且其中不存在k+1個(gè)兩兩互素的元素的集合，我們用f(n，k)表示這些集合元素個(gè)數(shù)的最大值.令E(n，k)表示由p1，p2…，pk的不超過n的正倍數(shù)構(gòu)成的集合，其中pi表示第i個(gè)素?cái)?shù)。
　　1962年，P Erdos提出了這樣的一個(gè)猜想：

2、r>　　對任意的n，k，總有f(n，k)=|E(n，k)|成立。
　　圍繞這個(gè)問題，Erdos，Sarkozy和Szemeredi展開了相關(guān)的探討及研究，他們指出這個(gè)猜想在k=1或者k=2的時(shí)候是顯然成立的。
　　1973年，S.L.G.Choi首次證明了這個(gè)猜想在k=3的時(shí)候是正確的。
　　直到1994年，Ahlswede和Kachatrian找到了一個(gè)反例，驗(yàn)證了在k=212時(shí)，Erdos的這一個(gè)猜想是不成立的。<

3、br>　　我們在文章中圍繞k=4展開了討論，不僅驗(yàn)證了Erdos的這一個(gè)猜想在k=4時(shí)是成立的，而且還得到了其他的一些結(jié)論.本文我們證明了如下結(jié)果：
　　設(shè)A(n，k)是一個(gè)由不超過禮的正整數(shù)構(gòu)成的集合，并且在A(n，k)中不存在k+1個(gè)兩兩互素的元素。
　　對任意的n≥55，如果|A(n，3)|≥|E(n，3)|，那么有A(n，3)=E(n，3)。
　　對任意的n≥49，如果|A(n，4)|≥|E(n，4)|，那么有