用線性信息逼近Nikolskii與Sobolev函數(shù).pdf

1、上個(gè)世紀(jì)50年代以來， Traub，Wozniakowski等人開始研究多變量函數(shù)的數(shù)值積分與逼近問題的計(jì)算復(fù)雜性，并得到了一些重要結(jié)論。本文正是在他們的研究方法指導(dǎo)下，概括并證明了在一些經(jīng)典的多變量函數(shù)空間中逼近問題計(jì)算復(fù)雜性的結(jié)果，使其中的逼近問題復(fù)雜性研究更加完善。如經(jīng)典的Holder、Sobolev等Banach空間。 并且本人也發(fā)表了關(guān)于各向異性的的Nikolskii空間與各向異性的Sobolev空間中逼近問題復(fù)雜性的

2、一些見解，給出了這些空間中逼近問題的最優(yōu)算法與誤差，并且說明這些算法的收斂速度。詳細(xì)證實(shí)了在各向異性的多變量函數(shù)空間中，一般的研究逼近問題的計(jì)算復(fù)雜性的方法也是可行的。同時(shí)說明各向同性與各向異性的Nikolskii空間與Sobolev空間在逼近問題復(fù)雜性的結(jié)論上的一致性與區(qū)別．揭示了由于各向異性的微分指標(biāo)對逼近問題產(chǎn)生的偏差與影響．對于經(jīng)典的多變量周期函數(shù)空間中的逼近問題，已經(jīng)產(chǎn)生了許多重要研究成果。主要體現(xiàn)在逼近方法的準(zhǔn)確性和精確性方

3、面，如三角多項(xiàng)式插值算法、函數(shù)空間的嵌入定理等。本文試圖在不同框架下，使得這些重要結(jié)論在研究數(shù)值問題復(fù)雜性方面得到具體的應(yīng)用。如在第四章中，我們引入了Dirichlet核函數(shù)、Vallee-Poussin核函數(shù)構(gòu)造線性算法，去解決各向異性周期Sobolev空間中逼近問題的上界估計(jì)，以及選取三角多項(xiàng)式列去構(gòu)造各向異性Besov空間中逼近問題的最優(yōu)算法．其結(jié)果對多變量函數(shù)空間中逼近問題復(fù)雜性的發(fā)展起到一定的推動作用。 本文的主要研究

4、方法是利用泛函分析為主要工具，特別是函數(shù)空間的嵌入定理、Gelfand數(shù)與Г函數(shù)方法。研究的角度是在確定、隨機(jī)、平均框架下，以標(biāo)準(zhǔn)信息和線性信息為信息算子，在一定函數(shù)空間及其子空間中尋找逼近問題的最優(yōu)數(shù)值算法，證明該算法的正確性；在算法的精確性方面，主要是得到算法估計(jì)的誤差，特別是算法的第n個(gè)最小誤差，進(jìn)而說明該數(shù)值算法計(jì)算效率即計(jì)算的復(fù)雜性。 另外，我們選用不同的信息類時(shí)，以比較同種算法的收斂速度，以及會對第n個(gè)最小誤差產(chǎn)生什

5、么的影響，進(jìn)一步地揭示出逼近問題的易處理性與不易處理性．我們也比較在確定與隨機(jī)框架下，第n個(gè)最小誤差的的收斂速度會有什么樣的差別．再一次證實(shí)了第n個(gè)最小誤差的最優(yōu)收斂速度的決定因素。 此論文共有四章第一章預(yù)備知識，描述了信息計(jì)算復(fù)雜性的發(fā)展歷程和當(dāng)今主流方向，并且介紹信息計(jì)算復(fù)雜性的一般理論，說明了在一定的函數(shù)空間中，在一定的信息類下，第n個(gè)最小誤差是研究逼近問題復(fù)雜性的重要手段。 第二章概括了Traub，Wozniak

6、owski,Heinrich,Novak等人的主要結(jié)果，得出了若干函數(shù)空間中逼近問題的計(jì)算復(fù)雜性，并完善了一些結(jié)果。對于Holder空間，主要得到，我們主要得到其逼近問題的復(fù)雜度為O(n-r/d)．這一章具體地介紹了經(jīng)典的多變量函數(shù)空間中逼近問題復(fù)雜性的一般研究方法。 第三章主要研究各向異性非周期函數(shù)的逼近問題。介紹了各向異性的含義，構(gòu)造了若干多項(xiàng)式算法以及Gelfand number方法，說明了在各向異性的的Nikolskii

7、空間與各向異性的Sobolev空間中也可以用類似經(jīng)典空間的辦法去討論逼近問題復(fù)雜性，并給出了在兩種信息類以及確定框架下逼近問題誤差界的估計(jì)。 第四章主要研究各向異性周期函數(shù)空間的逼近問題，包括各向異性的周期Sobolev、Nikolskii、Besov空間。從新的角度構(gòu)造了一些三角多項(xiàng)式算法來估計(jì)上界，利用bump function以及Gelfand number方法估計(jì)下界．特別對于Besov空間，選擇兩種不同的信息類，給出了