K廣義投影與算子方程.pdf

1、算子理論產(chǎn)生于20世紀(jì)初，由于其在數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，在20世紀(jì)的前三十年得到迅速發(fā)展，近年來K廣義投影與算子方程已成為算子理論研究的熱點(diǎn)問題之一.我們用B(H)表示無限維復(fù)可分Hilbert空間H上的所有有界線性算子全體.如果T∈B(H)滿足Tk=T*，其中k∈N且k≥2，則T稱為k廣義投影.k廣義投影蘊(yùn)涵著諸多有趣的性質(zhì)，近幾年來受到國內(nèi)外許多學(xué)者的普遍關(guān)注.本文在無限維Hilbert空間上研究k廣義投影的譜及其道路連通性問

2、題.算子方程是以算子為元素的方程，它是泛函分析的重要分支之一.關(guān)于算子方程XJ-JX*=M，AXA*=B，AXB=C，AX=B的解的研究從上世紀(jì)八十年代就已經(jīng)開始了，但是這些研究多數(shù)限制在有限維空間上.本文將這些研究拓展到無限維空間并研究上述方程解的特征.最后利用算子方程刻畫一類比較特殊的算子即廣義二次算子，我們主要研究了廣義二次算子的譜和群逆等相關(guān)性質(zhì). 本文共分四章：第一章主要介紹本文要用到的一些符號、概念及定理，例如正規(guī)算

3、子，譜，不變子空間和約化子空間，部分等距等概念；同時(shí)又介紹了一些熟知的定理如值域包含定理，極分解定理，譜映射定理等. 第二章主要研究在無限維Hilbert空間上的k廣義投影.首先證明了A∈B(H)是k廣義投影當(dāng)且僅當(dāng)A是正規(guī)算子且譜σ(A)∈{0，ei2n/k+1π：n=0，1，2,...，k}；其次給出A是k廣義投影的等價(jià)刻畫.最后探討了k廣義投影的道路連通性問題，分別得出如下結(jié)果： (1)如果P和Q是同倫的k廣義投影

4、，那么P,Q在k廣義投影之集中是道路連通的； (2)k廣義投影之集中不包含由k廣義投影組成的線段.第三章在無限維Hilbert空間上，探討算子方程XJ-JX*=M，AXA*=B，AXB=C,AX=B解的一些性質(zhì).分別得出方程XJ-JX*=M有等距解的等價(jià)條件；方程AXA*=B，AXB=C，AX=B有解的充分必要條件以及這些算子方程的通解表示. 第四章我們對B(H)中關(guān)于冪等算子P的廣義二次算子的全體L(P)={A∈B(H