非負矩陣與算子方程.pdf

1、本文研究的內(nèi)容分別涉及到非負矩陣和算子方程的有關(guān)內(nèi)容.非負矩陣理論產(chǎn)生于20世紀初，隨著這一理論的迅速發(fā)展，現(xiàn)在已成為現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要分支.它與物理學，線性系統(tǒng)，經(jīng)濟學和概率統(tǒng)計甚至社會科學以及其他一些數(shù)學分支都有著密切聯(lián)系.近年來，國內(nèi)外諸多學者對非負矩陣理論深入研究和推廣，并不斷提出與非負矩陣相關(guān)的諸多新的研究方向.例如，完全正矩陣，完全負矩陣，余正矩陣等概念先后被引入，目前這些有關(guān)非負矩陣的課題得到了相當廣泛的研究.

2、算子方程歷來是數(shù)學研究中較活躍的分支之一.對于算子方程，人們較多關(guān)注的是算子方程的求解問題以及方程解的性質(zhì)等.這些對于解決實際問題有很重要的意義. 本文共分四章，具體內(nèi)容如下：第一章主要介紹了本文中要用到的一些符號，定義和以后各章要用到的一些定理等.第一節(jié)介紹了不可約非負矩陣，置換矩陣，外圍譜，譜子集及有界線性算子等概念.第二節(jié)主要給出一些熟知的定理.如著名的Perron-Frobenious定理等. 第二章首先給出了具

3、有Perron-Frobenious性質(zhì)的矩陣的刻畫，即：若A∈Rn×，則下列性質(zhì)等價.(i)A和AT具有強的Perron-Frobenius性質(zhì)；(ii)A是最終正的；(iii)AT是最終正的.其次，討論了上述矩陣中類似于不可約非負矩陣的一些性質(zhì).最后討論了具有Perron-Frobenious性質(zhì)的矩陣的擾動問題. 第三章首先對完全正矩陣進行了討論，得到雙非負矩陣是完全正矩陣的一個充要條件，即：設(shè)A=(aij)∈DNNn，如

4、果A=TTT，那么A∈CPn當且僅當存在m個非零向量x1，…，xm∈S*T使得下式成立：x1xT1+x2xT2+…+xmxTm=Ik，其中，T是k×n(k=rank(A))實矩陣.其次，給出一定條件下，A=An的充要條件，其中A是可約非負矩陣.即：若A≥0是可約的且r(A)=1，則A-An=0當且僅當存在一個置換矩陣P使得下式成立：PAPT={A110…00A22…0……(…)00…Arr}.其中，對所有的1≤i≤r，Aii是不可約的且