廣義方程的求解探討.pdf

1、本文研究如下的廣義方程:
　　 求(x)∈Ω,使0∈f((x))+G((x)),(1)
　　 其中X,Y為Banach空間,Ω為X中的開集,f:Ω()X → Y為Fréchet可導映射(單值映射),G:X→2Y為閉圖的集值映射.廣義方程是大量問題的抽象模型,包括線性與非線性互補問題,非線性方程組,變分不等式,非線性規(guī)劃的一階必要條件等等,現(xiàn)已被廣泛地應用于工程學(如彈塑性結構分析,交通均衡問題)及經濟學(Walrasia

2、n均衡,Nash均衡)中.其現(xiàn)實意義吸引了大量學者對該問題進行研究,見[16,17,27,28,36,37,47,48]等等.然而這些迭代法產生的迭代序列并不唯一,因而,從實際應用的角度出發(fā),本文通過Gauss-Newton法結合優(yōu)函數(shù)方法建立半局部收斂性分析.此外,注意到非線性方程是廣義方程的一類重要的特殊情形,具有廣泛的理論及應用價值,本文在后續(xù)研究中建立了求解非線性方程的Newton-Steffensen法的半局部收斂性分析及局部

3、收斂性分析,并給出了具體的數(shù)值例子.全文共分為四個部分,具體闡明如下:
　　 第一章中,我們給出了必要的定義,記號及預備知識,介紹了廣義方程的研究進展.
　　 第二章中,我們定義了一類集值映射:Qx(·):=f(x)+f'(x)(·-x)+G(·).在f'滿足L-平均Lipschitz條件,Q-1x0(·)(x0為初值點)為Lipchitz類的假設條件下,我們建立了Gauss-Newton法的半局部收斂性結果,證明了Ga

4、uss-Newton法產生的迭代序列收斂于廣義方程(1)的某個解.此外,我們將L-平均Lipschitz條件中出現(xiàn)的函數(shù)L(u)特殊化為兩類重要函數(shù)L=常數(shù)及L=2γ／(1-γu)3后得到Kantorovich型及Smale型定理.特別地,效仿Smale研究Newton法時在γ理論中提出逼近零點這一做法,我們給出了關于Gauss-Newton法及廣義方程(1)的一類新的逼近零點的定義,并在適當條件下證明了迭代序列的初值點為廣義方程的一個