Hardy不等式與某些含臨界位勢(shì)的橢圓型方程.pdf

1、本文主要討論Hardy(型)不等式以及含臨界位勢(shì)的橢圓型方程多重解的存在性,全文共七章。
　　第一章,建立了R~4中相應(yīng)的Rellich不等式,證明了常數(shù)是最佳的,由此確定了臨界位勢(shì)。隨后,利用臨界點(diǎn)理論證明了含臨界位勢(shì)的非線性橢圓型雙調(diào)和方程多重解的存在性,其中非線性項(xiàng)為次臨界增長(zhǎng)。
　　第二章,建立了含一般權(quán)的一維Hardy不等式,并證明常數(shù)是最佳的,利用變量代換的方法得到含一般權(quán)的L~2-恒等式,以此式進(jìn)行遞推便得到含

2、任意有限個(gè)余項(xiàng)的恒等式。進(jìn)而,建立了含任意有限個(gè)余項(xiàng)的一維Hardy不等式。隨后,利用對(duì)稱重排的方法,得到了含任意有限個(gè)余項(xiàng)的N維L~p-Hardy不等式,其中權(quán)為冪函數(shù)。最后,研究了N=p時(shí),含臨界位勢(shì)的p-Laplace方程第一特征值問題,給出了第一特征值的漸進(jìn)性態(tài)。
　　第三章,給出了使Hardy不等式成立的(左右兩端)權(quán)函數(shù)之間的一個(gè)關(guān)系式,得到了含一般權(quán)函數(shù)的N維L~pHardy不等式,其中常數(shù)是最佳的。類似于第二章,通

3、過變量代換得到了含一般權(quán)的N維L~2-恒等式,以此恒等式出發(fā)便得到含無窮多個(gè)余項(xiàng)的L~2-Hardy不等式,其中常數(shù)和權(quán)函數(shù)都是最佳的。此外,建立了含任意多個(gè)余項(xiàng)的Hardy-Poincaré不等式。最后,研究了含一般權(quán)及余項(xiàng)的L~p-Hardy不等式,但沒能找到最佳常數(shù)。
　　第四章,建立了第三章中定義的新空間中的嵌入定理及嵌入緊性,并利用臨界點(diǎn)理論證明了一類含(一般徑向)臨界位勢(shì)和臨界參數(shù)的非線性退化橢圓型方程多重解的存在性。

4、
　　第五章,在跡非零的函數(shù)空間中建立了相應(yīng)的Hardy不等式,此時(shí)要求Hardy不等式包含邊界項(xiàng)積分,用類似于前兩章的方法在跡非零空間中建立了含一般權(quán)及余項(xiàng)的Hardy不等式以及Hardy-Poincaré不等式。定義了一個(gè)新的Hilbert空間,證明了一類半線性橢圓型方程N(yùn)eumann邊值問題的可解性。
　　第六章,建立了含到邊界距離的Hardy-Poincaré不等式,由此定義一個(gè)新的Hilbert空間,并得到該空間嵌