含臨界位勢和臨界指數(shù)的擬線性橢圓型方程的多重解.pdf

1、擬線性橢圓型方程是偏微分方程理論的一個(gè)重要分支,對于這種方程的解的存在性與非存在性,唯一性與正則性歷來是人們研究的主題,特別是對含有臨界指數(shù)或臨界位勢的擬線性橢圓型方程Dirichlet問題的研究,近年來是一個(gè)熱點(diǎn)問題.該文從不同的角度(如,含臨界指數(shù),含臨界位勢或者無窮區(qū)域)討論了兩種算子方程—-p-Laplace算子方程和p-平均曲率算子方程在失去緊張的情形下的解的存在性問題.對于含有臨界指數(shù)的p-Laplace算子的Dirichl

2、et問題的無窮多解的存在性,國內(nèi)外還很少有人研究.該文利用集中緊原理,不要求(PS)條件的山路引理,Clark臨界點(diǎn)理論和虧格的性質(zhì)等,討論了這種問題的無窮多解的存在性.從而在較弱的條件下推廣了p=2時(shí)的某些結(jié)果.由于無界區(qū)域上的問題也是失去緊性的問題,因此研究這類問題與研究臨界指數(shù)問題一樣具有一定的困難.該文討論了一類無界區(qū)域上p-Laplace算子方程的正解的存在性,從而推廣了p=2時(shí)的某些結(jié)果.對于含臨界位勢的非線性橢圓型方程Di

3、richlet問題的研究,目前也是一個(gè)熱鬧課題.但大部分是針對于p=2或凸非線性情形.該文首次探討了含臨界位勢或超臨界位勢的p-Laplace算子凹凸非線性橢圓型方程Dirichlet問題正解的存在性.由于凹凸非線性比凸非線性更難得到(PS)序列的有界性,從而證明這類問題有一定的難度.該文利用Hardy不等式,Ekeland變分原理及山路引理分別討論了次臨界指數(shù)和臨界指數(shù)情形的這類問題的正解的存在性.對于p-平均曲率算子非線性方程的研究

4、,目前還停留在次臨界指數(shù)且p≥2的情形.該文首次討論了這種算子的含臨界指數(shù)或臨界位勢,甚至超臨界位勢的Dirichlet問題.對于只含有臨界指數(shù)的p-平均曲率算子(p≥2)的研究,該文采用Nehari型對偶性質(zhì)及定義同倫穩(wěn)定集簇(a homotopy-stable family)的對偶集(dual set)的方法,證明了這種問題的正解的存在性;對于含有臨界位勢或超臨界位勢的p-平均曲率算子(p>1)的研究,該文仍采用Hardy不等式,E

5、keland變分原理及滿足(PS)條件或不滿足(PS)條件的山路引理,證明了這種算子的Dirichlet問題的正解或無窮多解的存在性.以上介紹的擬線性橢圓型問題,由于它們大多來源于幾何,物理學(xué)等問題中,因此一直受到人們的關(guān)注,也很值得進(jìn)一步研究.該文第二章討論了如下形式的非線性方程的無窮多解的存在性:第三章主要討論了下列無界區(qū)域上非線性方程正解的存在性:第四章討論了如下形式含有臨界位勢或超臨界位勢的凹凸非線性橢圓型方程正解的存在性:第五