阻力對完全非彈性蹦球運(yùn)動(dòng)軌道穩(wěn)定性的影響.pdf

1、蹦球指在豎直簡諧振動(dòng)臺面上蹦跳的球，是一種最簡單的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，球與臺面之間的碰撞恢復(fù)系數(shù)e決定了蹦球的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。本文考慮一種極端情況，球與臺面間碰撞恢復(fù)系數(shù)為0，二者進(jìn)行完全非彈性碰撞。隨著臺面振動(dòng)強(qiáng)度的增大，完全非彈性蹦球每一跳的飛行時(shí)間和相對臺面的著陸速度會(huì)依次經(jīng)歷一系列倍周期分岔過程。在2n階分岔點(diǎn)之前，存在一個(gè)“平臺”區(qū)，平臺區(qū)內(nèi)蹦球進(jìn)行穩(wěn)定n倍周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)n?1時(shí)，2n階分岔點(diǎn)之后存在蹦跳密集區(qū)。在密集區(qū)內(nèi)蹦球的運(yùn)動(dòng)非常

2、復(fù)雜，存在大量倍周期分岔現(xiàn)象且分岔點(diǎn)非常密集，蹦球運(yùn)動(dòng)敏感地依賴于振動(dòng)強(qiáng)度的變化，分岔相圖中還存在著自相似結(jié)構(gòu)。
　　本文研究了完全非彈性蹦球密集區(qū)起點(diǎn)處和終點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)狀況，發(fā)現(xiàn)在密集區(qū)的尾部有一段很短的區(qū)域，在這段區(qū)域內(nèi)蹦球運(yùn)動(dòng)的周期由若干次跳躍組成，永遠(yuǎn)不會(huì)落入吸收區(qū)，但具有明顯的周期性；在第二個(gè)密集區(qū)中間部位有一段僅由兩次跳躍便落入吸收區(qū)的區(qū)間，這段區(qū)間之前的密集區(qū)部分也是永不落入吸收區(qū)的周期性運(yùn)動(dòng)。在完全非彈性蹦球中分別引

3、入大小恒定的力和大小隨蹦球相對振臺速度變化的粘滯阻力，發(fā)現(xiàn)在這兩種性質(zhì)的阻力作用下，密集區(qū)尾部仍可觀察到永不落入吸收區(qū)的穩(wěn)定倍周期運(yùn)動(dòng)。
　　將蹦球每一跳的飛行時(shí)間看做一維映射，引入Lyapunov指數(shù)，根據(jù)Lyapunov指數(shù)的正負(fù)判斷蹦球的運(yùn)動(dòng)是否混沌，發(fā)現(xiàn)在不考慮阻力時(shí)蹦球運(yùn)動(dòng)不會(huì)出現(xiàn)混沌。加入大小恒定的阻力之后，蹦球的運(yùn)動(dòng)仍始終是倍周期的；在此基礎(chǔ)上，加入一個(gè)與蹦球和振臺的相對速度方向相反、大小成正比的粘滯阻力，蹦球的運(yùn)動(dòng)