幾種求解H(curl)與H(grad)型偏微分方程有限元離散系統(tǒng)的多水平快速算法.pdf

1、H(curl)型和H(grad)型偏微分方程組(PDEs)在電磁場(chǎng)計(jì)算和固體力學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用.本文針對(duì)頻域電磁場(chǎng)PML逼近方程組、頻域電磁場(chǎng)隱身超常材料模型和不定時(shí)諧Maxwell方程組等幾類重要的H(curl)型偏微分方程組的棱有限元離散系統(tǒng),以及Possion方程和線彈性力學(xué)方程組等幾類重要的H(grad)型偏微分方程的間斷Galerkin(DG)有限元離散系統(tǒng)和二次協(xié)調(diào)有限元離散系統(tǒng),研究了相應(yīng)的多水平快速算法.主要內(nèi)容如下

2、:
　　針對(duì)一類二維電磁場(chǎng)散射問題PML逼近方程的對(duì)稱不定線性棱有限元離散系統(tǒng),首次利用迭代兩網(wǎng)格法的思想為其構(gòu)造了一種迭代兩網(wǎng)格法,該方法本質(zhì)地將對(duì)原復(fù)雜離散系統(tǒng)的求解轉(zhuǎn)化為三個(gè)更為簡(jiǎn)單的輔助系統(tǒng)的求解.同時(shí)為其中的兩個(gè)輔助系統(tǒng)分別構(gòu)造了高效預(yù)條件子,以及基于相應(yīng)預(yù)條件子的PMINRES方法和PCG方法.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,與經(jīng)典的迭代法(如PMINRES法)相比,我們?cè)O(shè)計(jì)的迭代兩網(wǎng)格法在迭代次數(shù)和CPU時(shí)間上均具有明顯的優(yōu)勢(shì).

3、>　　通過將完美匹配層(PML)方法、電磁場(chǎng)理論以及隱身超常材料理論等相結(jié)合,給出了一種二維頻域電磁場(chǎng)隱身超常材料模型,數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了模型的正確性.進(jìn)一步,為一類電磁場(chǎng)散射問題PML逼近方程組和上述隱身超常材料模型方程組的線性棱有限元離散系統(tǒng),結(jié)合HX預(yù)條件方法,構(gòu)造了一種Schur補(bǔ)型的多水平預(yù)條件子,數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性.
　　針對(duì)不定時(shí)諧Maxwell方程組的棱有限元離散系統(tǒng),構(gòu)造了一種基于兩水平方法和HX預(yù)條件子的多

4、水平加性預(yù)條件子,本質(zhì)性地將細(xì)網(wǎng)格空間上原不定問題的求解轉(zhuǎn)化為粗網(wǎng)格空間和細(xì)網(wǎng)格上curl算子核空間上原不定問題的求解,以及在細(xì)網(wǎng)格空間上的對(duì)稱正定問題的求解.當(dāng)粗網(wǎng)格尺寸充分小時(shí),證明了基于該預(yù)條件子的PGMRES法的一致收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.
　　針對(duì)一類二階橢圓問題的一般對(duì)稱內(nèi)罰間斷有限元離散系統(tǒng),通過將DG有限元空間分解為“高頻”部分和線性協(xié)調(diào)元空間,為其構(gòu)造一種新的穩(wěn)定的空間分解.利用該空間分解,首先為

5、DG有限元離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)了多水平預(yù)條件子.基于輔助空間預(yù)條件理論,我們證明了該預(yù)條件系統(tǒng)的條件數(shù)是一致有界的,同時(shí)為其中的線性元系統(tǒng)設(shè)計(jì)了BPX預(yù)條件子,從而得到一種多水平加性預(yù)條件子.接著還為DG有限元離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種兩水平迭代法,并證明該迭代法是一致收斂的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述理論的正確性.
　　針對(duì)平面彈性力學(xué)問題二次有限元離散系統(tǒng),給出了一種基于二分網(wǎng)格的局部多層網(wǎng)格(LMG)法.通過將二次有限元空間分解成‘高頻’部分和線性