含時(shí)滯的奇異攝動系統(tǒng)的非線性動力學(xué).pdf

1、對受到奇異攝動的常微分系統(tǒng)已有豐富的研究成果,研究表明這些系統(tǒng)中會出現(xiàn)邊界(內(nèi)部)層、張弛振蕩、慢通過效應(yīng)、記憶效應(yīng)、危險(xiǎn)跳躍、失穩(wěn)滯后等獨(dú)特的動力學(xué)現(xiàn)象。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和對精確度要求的提高,人們發(fā)現(xiàn)時(shí)滯是普遍存在的,而對受到奇異攝動的時(shí)滯微分系統(tǒng)的研究工作還很少。為此,本文基于攝動理論,對受到奇異攝動的非線性時(shí)滯微分系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)的研究,特別是對受到奇異攝動的快-慢時(shí)滯微分系統(tǒng)的一些獨(dú)特的動力學(xué)行為進(jìn)行深入的探討。
　　 當(dāng)

2、非線性時(shí)滯微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性時(shí),通常會發(fā)生Hopf-分岔而形成周期運(yùn)動,這是非線性動力學(xué)行為。由于Hopf-分岔是局部動力學(xué)行為,所以非線性項(xiàng)可看成是擾動項(xiàng),這樣各種經(jīng)典的奇異攝動法可被推廣用來計(jì)算時(shí)滯微分系統(tǒng)由Hopf-分岔而形成的周期解。本文分別用Lindstedt-Poincaré方法和多尺度法(MMS)對一個(gè)新建立的光電系統(tǒng)和一個(gè)帶時(shí)滯的Internet網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的局部Hopf-分岔周期解進(jìn)行了計(jì)算,得到非常簡潔的結(jié)果,數(shù)

3、值檢驗(yàn)表明計(jì)算結(jié)果具有很高的精度。
　　 快-慢系統(tǒng)是典型的奇異攝動系統(tǒng),這種系統(tǒng)中含有不同的動力學(xué)時(shí)間尺度,其最典型的運(yùn)動是脈沖形式振蕩解和簇動形式振蕩解。對快-慢常微分系統(tǒng)的研究已有豐富的結(jié)果,但對快-慢時(shí)滯微分系統(tǒng)的研究還很少,還不清楚時(shí)滯是怎樣影響快-慢系統(tǒng)的動力學(xué)行為的。本文以快-慢激光系統(tǒng)為模型,討論時(shí)滯對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。研究表明,時(shí)滯不僅會使得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性而產(chǎn)生一系列的Hopf-分岔和雙Hopf-分

4、岔,而且時(shí)滯會改變系統(tǒng)發(fā)生脈沖形式振蕩運(yùn)動的時(shí)間,并改變脈沖形式振蕩解的特性,使得系統(tǒng)出現(xiàn)更復(fù)雜的運(yùn)動,甚至產(chǎn)生混沌運(yùn)動。通過細(xì)致的計(jì)算和分析,給出了系統(tǒng)局部穩(wěn)定性的二參數(shù)平面區(qū)域劃分圖,并指出參數(shù)在不同區(qū)域中取值對應(yīng)到系統(tǒng)不同的運(yùn)動形式,此外還給出了系統(tǒng)發(fā)生脈沖形式振蕩運(yùn)動的時(shí)間計(jì)算公式。
　　 當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí),分岔是動力系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象。但當(dāng)分岔參數(shù)隨時(shí)間緩慢變化時(shí),一個(gè)有趣的現(xiàn)象是分岔滯后現(xiàn)象。這種現(xiàn)象經(jīng)常在快-慢系

5、統(tǒng)中發(fā)生,這時(shí)慢變量被認(rèn)為是隨時(shí)間緩慢變化的分岔參數(shù)。常微快-慢系統(tǒng)中的失穩(wěn)滯后現(xiàn)象已得到廣泛的研究,已有一系列的研究結(jié)果出現(xiàn)。但對快-慢時(shí)滯微分系統(tǒng)中的分岔滯后現(xiàn)象,且未見系統(tǒng)性的研究工作。本文基于中心流形和規(guī)范型、幾何攝動法、穩(wěn)定切換等理論,對快-慢時(shí)滯微分系統(tǒng)中的失穩(wěn)滯后現(xiàn)象進(jìn)行系統(tǒng)的研究。本文利用常微系統(tǒng)中關(guān)于分岔滯后現(xiàn)象的一些結(jié)果給出了快-慢時(shí)滯微分系統(tǒng)發(fā)生分岔滯后的一般性條件,并給出了進(jìn)入-逃逸函數(shù)的表達(dá)式。兩個(gè)實(shí)例分析表明

6、了本文結(jié)論的有效性,同時(shí)利用Lambert函數(shù)的一些性質(zhì)得到了進(jìn)入-逃逸函數(shù)的顯式表達(dá)式。
　　 對含慢變參數(shù)的Duffing-系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了考察,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)中存在分岔滯后現(xiàn)象,同時(shí)還探討了其中一些獨(dú)特的動力學(xué)現(xiàn)象發(fā)生的機(jī)理。時(shí)滯微分系統(tǒng)經(jīng)常由于Hopf-分岔的發(fā)生而失去穩(wěn)定性,前面的研究表明,當(dāng)分岔參數(shù)隨時(shí)間緩慢變化時(shí),Hopf-分岔將會延遲發(fā)生,這一現(xiàn)象可以用來提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在本文中,通過給分岔參數(shù)加上隨時(shí)間緩慢