Helmholtz方程的有限元方法.pdf

1、Helmholtz方程常出現(xiàn)在聲學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中，在科學(xué)研究中有重要的實用價值。對于它的研究，大量論文資料給出了數(shù)值求解方法的理論分析，本論文將在部分文獻已推導(dǎo)出的理論基礎(chǔ)上，對Helmholtz方程的變分形式進行分析總結(jié)，并將側(cè)重點放在對Helmholtz方程的有限元方法數(shù)值求解實驗上，并通過數(shù)值實驗展示各種方法的數(shù)值解精度。
　　對于一維問題，本文采用了線性插值、Hermite插值和三角插值構(gòu)造單元上的形函數(shù)，并應(yīng)

2、用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編制計算程序進行了數(shù)值實驗，針對波數(shù)k的不同取值，通過誤差數(shù)據(jù)展示了數(shù)值解的精度。
　　對于二維Helmholtz方程，文中分別采用了三角形單元剖分和矩形單元剖分。對于三角形單元，文中構(gòu)造了線性形函數(shù)；對于矩形單元，文中采用雙線性插值、Hermite插值和三角插值構(gòu)造了單元形函數(shù)。另外，還利用齊次Helmholtz方程的解作為基函數(shù)，導(dǎo)出了相應(yīng)的形函數(shù)。最后編制了程序進行數(shù)值實驗，針對波數(shù)k的不同取值，通過誤

3、差數(shù)據(jù)展示了各種情況下數(shù)值解的精度。
　　對于三維Helmholtz方程，本文先對求解區(qū)域進行了三棱柱單元剖分，并構(gòu)造了單元上的線性形函數(shù)，接著又采用長方體單元對求解區(qū)域進行了剖分，分別采用線性插值、Hermite插值和三角插值構(gòu)造了單元形函數(shù)。并編制程序進行了數(shù)值實驗，針對波數(shù)k的不同取值，通過誤差數(shù)據(jù)展示了數(shù)值解的精度。
　　同時，本文繪制了一維問題數(shù)值解的誤差曲線和二維問題數(shù)值解的誤差曲面，清晰地反映了數(shù)值解與解析解之