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文檔簡介
1、Artin環(huán)是有限環(huán)和域上有限維代數(shù)的推廣,它是一類滿足極小條件的環(huán),是環(huán)論中一類重要而經(jīng)典的環(huán),與代數(shù)學(xué)的其他分支,如代數(shù)表示論等密切相關(guān).另一方面,Nakayama在1939年討論左、右理想之間對偶時引入了QF(quasi-Frobenius)環(huán),其后,QF環(huán)被證明了等價于單邊Artin、單邊自內(nèi)射環(huán).由此,這兩類環(huán)的研究緊密結(jié)合,而且與環(huán)論中一些著名的猜測也密切相關(guān),如:CF猜測,F(xiàn)GF猜測以及Faith-Menal猜測。
2、 在眾多的關(guān)于Artin環(huán)和QF環(huán)以及這些猜測的研究中,連續(xù)性,弱連續(xù)性,強(qiáng)C2條件等相關(guān)內(nèi)射性起著十分重要的作用.如Nicholson和Yousif證明了對右弱連續(xù)環(huán)和強(qiáng)右C2環(huán),F(xiàn)GF猜測均成立。
為了深入對強(qiáng)C2環(huán)和強(qiáng)C2模的研究,在本文的第二章,我們引入了n-C2模和n-C2環(huán)的概念,給出了它們的判定準(zhǔn)則,并以此得到強(qiáng)C2模和強(qiáng)C2環(huán)的等價刻畫:右R-模M是強(qiáng)C2的當(dāng)且僅當(dāng)對S的任意有限生成真左理想K,rM(K)≠0
3、,其中S=End(MR)是M的自同態(tài)環(huán);R是強(qiáng)右C2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的投射模PR,及其投射子模QR,均有P/Q是平坦的。
第三章考慮了與強(qiáng)C2模對偶的強(qiáng)D2模,給出了強(qiáng)D2模的一個刻畫以及平坦模的一個零化子刻畫:右R-模MR是強(qiáng)D2的當(dāng)且僅當(dāng)對S的任意有限生成真右理想K,KM≠M(fèi),其中S=End(MR)是M的自同態(tài)環(huán);M是平坦的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的正整數(shù)n以及T=Mn(R)的任意元素A,有l(wèi)M(A)=Mn(lT(A)).并且給出了
4、一些強(qiáng)D2模的例子,如右duo環(huán)上所有的循環(huán)右模都是強(qiáng)D2的。
第四章圍繞CF猜測(每個循環(huán)右模都可以嵌入自由模的環(huán)是右Artin環(huán)),F(xiàn)GF猜測(每個有限生成右模都可以嵌入自由模的環(huán)是QF環(huán))和Faith-Menal猜測(右Noether左FP內(nèi)射環(huán)都是QF環(huán))展開研究,證明了在右ACS條件下,CF猜測和FGF猜測成立,將Gómez Pardo和Guil Asensio的相關(guān)結(jié)果,Nicholson和Yousif的相關(guān)結(jié)果中
5、的CS,弱連續(xù)減弱到ACS.此外,還利用ACS條件,改進(jìn)了Faith-Menal猜測的相關(guān)結(jié)果.
最后,受Malik利用模糊理想刻畫右Artin環(huán)的啟發(fā),我們引入了模的模糊同態(tài)和弱模糊同態(tài),并用它們刻畫了右Artin環(huán),右CF環(huán)和QF環(huán):R是右Artin環(huán)等價于對任意的f∈WFHom(R, R),f是有限賦值的;R是右CF環(huán)等價于對任意有界的可擴(kuò)張弱模糊同態(tài)f∈WFHom(R,R),存在F1,…,F(xiàn)n∈FHom(R,R),使得
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