自擴(kuò)散與交錯(cuò)擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定.pdf

1、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)是一門使用數(shù)學(xué)模型和方法研究生態(tài)現(xiàn)象的學(xué)科．我們借助對(duì)生態(tài)現(xiàn)象的研究和分析，得到對(duì)生態(tài)現(xiàn)象科學(xué)的解釋以及對(duì)生態(tài)變化做出預(yù)測(cè)．隨著社會(huì)的需要，它正快速成長(zhǎng)為一門現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，已經(jīng)引起了人們的廣泛興趣．生物數(shù)學(xué)中建立的連續(xù)模型一般有兩種，一種是常微分方程(ODE)模型，加入擴(kuò)散作用則是另一種模型，偏微分方程(PDE)模型．由于加入了擴(kuò)散作用，在一定情況下，模型的相關(guān)性質(zhì)就會(huì)相應(yīng)地發(fā)生一些有趣的變化，其中1952年20世紀(jì)偉大的

2、英國科學(xué)家Alan.M．Turing在《The chemical basis of morphogenesis》一文中提出的Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象就是一個(gè)很好的例子． Turing認(rèn)為，如果參加相互反應(yīng)的化學(xué)物質(zhì)自身沒有擴(kuò)散作用，那么它們經(jīng)過一段時(shí)間的反應(yīng)，其濃度都會(huì)變得均一、穩(wěn)定，但是如果這些化學(xué)物質(zhì)具有擴(kuò)散作用，那么在滿足某種條件下，原來濃度均一、穩(wěn)定的平衡狀態(tài)將變成不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．換句話說在同一個(gè)正常數(shù)平衡解處常微分模型

3、是穩(wěn)定的，但是對(duì)于加入了擴(kuò)散作用的偏微分模型卻是不穩(wěn)定的． 自從1952年Turing提出這個(gè)有趣的論點(diǎn)到現(xiàn)在，Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象已經(jīng)引起了化學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、數(shù)學(xué)、通信等各學(xué)科研究者的廣泛興趣．尤其是科技發(fā)展的今天，Turing不穩(wěn)定思想已經(jīng)成為現(xiàn)代化學(xué)中反應(yīng)擴(kuò)散理論中的最基礎(chǔ)的理論之一，科學(xué)家們?cè)趯?shí)驗(yàn)室中也已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象． 本文在引言中具體介紹了Turing不穩(wěn)定這一問題的來源、相關(guān)工作背景

4、以及已經(jīng)研究得到的關(guān)于Truring不穩(wěn)定的主要結(jié)論．在第二章中，本文首先給出了一個(gè)在一維空間(0，π)上具有自擴(kuò)散的兩種群Turing不穩(wěn)定的一般例子及其相應(yīng)結(jié)論的證明過程；然后再加入時(shí)滯把問題推廣到全空間Rn(n≥1)中的一般n維有界空間Ω上，通過對(duì)有界空間Ω的正交分解，給出了一個(gè)出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象的充分條件，通過相應(yīng)結(jié)論的比較，說明時(shí)滯對(duì)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象有一定的影響，但是如果常微系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定，那么偏微系統(tǒng)一定絕對(duì)穩(wěn)定

5、；最后利用前面的理論，具體討論了一般的Lotka-Volterra模型在滿足什么條件下，加入自擴(kuò)散作用才有可能出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定，同時(shí)我們給出了具體的例子運(yùn)用數(shù)值模擬來進(jìn)一步說明文中的結(jié)論．在現(xiàn)實(shí)生活中除了自擴(kuò)散作用普遍存在著，交錯(cuò)擴(kuò)散也是普遍存在的．研究帶有交錯(cuò)擴(kuò)散的非線性偏微分方程是相對(duì)比較困難的，它需要更強(qiáng)理論支持和分析能力，但是隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，科學(xué)理論的不斷成熟與更新，近幾十年來，各學(xué)科的越來越多的學(xué)者加入了研究交錯(cuò)

6、擴(kuò)散的行列．在生物界中，種群之間的相互遷徙就是一種典型的交錯(cuò)擴(kuò)散，有些生態(tài)現(xiàn)象就是由于交錯(cuò)擴(kuò)散引起的，而不是由于自擴(kuò)散引起的．在研究自擴(kuò)散的基礎(chǔ)上加入了交錯(cuò)擴(kuò)散的討論，相對(duì)來講更為合理． 本文的第三章，對(duì)一個(gè)具體的帶交錯(cuò)擴(kuò)散的蚜蟲-天敵-殺蟲劑的模型進(jìn)行了研究，針對(duì)這個(gè)具體模型著重研究了交錯(cuò)擴(kuò)散對(duì)于Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象的影響．第一小節(jié)，給出了這一具體模型建立的生物學(xué)背景及其前人所做的一些工作，說明了研究這一模型的實(shí)際意義。在接

7、下來的兩小節(jié)中，本文主要討論了在滿足什么樣條件下，模型在其同一個(gè)正常數(shù)平衡解處出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象，重點(diǎn)研究交錯(cuò)擴(kuò)散對(duì)于Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象的影響，得出在滿足常微分系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，不管加入了自擴(kuò)散的系統(tǒng)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，再加入交錯(cuò)擴(kuò)散后，只要滿足一定的條件，交錯(cuò)擴(kuò)散都有可能改變自擴(kuò)散系統(tǒng)在同一正常值平衡解處穩(wěn)定性的結(jié)論，也就是說，交錯(cuò)擴(kuò)散既可以使系統(tǒng)產(chǎn)生Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象，也可以使原來的Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象消失．最后