NLS方程和四階Klein-Gordon方程的適定性研究.pdf

1、在第一部分，我們給出了非線性Schrodinger方程和非線性Klein-Gordon方程的物理背景和目前的研究進(jìn)展，概述了本文的研究內(nèi)容。
　　 在第二部分，我們研究了一類帶有臨界指數(shù)以及超臨界指數(shù)的非線性Schrodinger方程的柯西問題.非線性Schrodinger方程是相對論以及量子力學(xué)中最基本的方程，因此研究此類問題具有深遠(yuǎn)的意義.通過建立交叉變分問題，我們給出了方程整體解存在與不存在的最佳條件(sharp cond

2、ition).另外我們分析了臨界指標(biāo)源項(xiàng)與超臨界指標(biāo)源項(xiàng)同時(shí)存在對非線性Schrodinger方程解整體適定性的影響。
　　 在第三部分，我們考慮了具有多個(gè)異號源項(xiàng)的非線性Schrodinger方程的柯西問題。通過構(gòu)建交叉變分問題和解的不變流形，利用位勢井理論和凸性方法，我們得到了方程整體解整體存在與不存在的一個(gè)門檻條件.由于多個(gè)異號非線性源項(xiàng)構(gòu)成了復(fù)雜的變分結(jié)構(gòu)，因此很有必要分析了多個(gè)異號非線性源項(xiàng)對空間結(jié)構(gòu)的影響。
　

3、　 在第四部分，我們討論了四階非線性Klein-Gordon方程的初邊值問題.由于色散項(xiàng)的存在使得本章所研究方程的位勢結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，因此在高能狀態(tài)下研究方程解的適定性是本文所要解決的一項(xiàng)困難.其次，復(fù)雜的位勢結(jié)構(gòu)使得構(gòu)成變分結(jié)構(gòu)的方式不唯一的，所以很有必要討論不同變分結(jié)構(gòu)對適定性問題的影響以及不同變分結(jié)構(gòu)與解的關(guān)系。通過建立適當(dāng)?shù)慕徊孀兎謫栴}，借助位勢井理論和凸性方法，我們給出了在低初始能量和臨界能量狀態(tài)下方程整體解存在與不存在的充分