兩類(lèi)四階非線性拋物方程解的適定性和漸近性.pdf

1、隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的不斷進(jìn)步，偏微分方程(PDE)理論及其應(yīng)用均得到了長(zhǎng)足發(fā)展，諸如物理、幾何、生物等自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域相繼涌現(xiàn)出了許多急待深入研究的高階偏微分方程。由于在二階PDE中起重要作用的極值原理對(duì)高階方程一般不成立，因此，在探討高階偏微分方程時(shí)就需要利用新的數(shù)學(xué)工具和方法。同時(shí)，來(lái)源于理論物理或其它一些實(shí)際問(wèn)題中的高階偏微分方程更多是非線性的，有的甚至是退化或奇異的，這些都使得高階問(wèn)題的研究變得更加復(fù)雜和困難，也更

2、具有挑戰(zhàn)性。正因?yàn)槿绱?，?duì)這些描述和解釋自然現(xiàn)象的高階PDE的研究吸引了愈來(lái)愈多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。
　　本論文考慮兩類(lèi)來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題的四階非線性拋物方程解的適定性和漸近性。具體地說(shuō)，研究一類(lèi)廣義薄膜方程解傳播速度的有限性和長(zhǎng)時(shí)間行為，以及一類(lèi)用于圖像去噪的四階拋物方程解的適定性和長(zhǎng)時(shí)間行為。論文分為兩部分，具體內(nèi)容如下:
　　第一部分，在周期邊界條件下考慮如下廣義的薄膜方程u1+[un(uxxx-cux+b)]x=0, x∈

3、Ω,t＞0,其中Ω(∈)R是有界區(qū)間，n是正實(shí)數(shù)，b，c≥0是常數(shù)。首先，考察初邊值問(wèn)題非負(fù)解的存在性，并建立一些重要的估計(jì)。其次，結(jié)合局部熵估計(jì)、局部能量估計(jì)和方程組情形下的Stampacchia引理，證明了初邊值問(wèn)題解的傳播速度的有限性質(zhì)對(duì)于n∈[2，3）這種情形也成立。最后，應(yīng)用熵耗散方法得到了初邊值問(wèn)題（n=1時(shí)）古典解的長(zhǎng)時(shí)間行為:當(dāng)t→∞時(shí)，解以t-1/4的速率一致收斂到初值的平均值。我們的工作將先前文獻(xiàn)的結(jié)果作為特殊情形包

4、含在內(nèi)。
　　論文的第二部分主要探討下面的一類(lèi)用于圖像去噪的四階拋物方程u1+(g(u)uxx)xx=0，x∈Ω，t＞0，(0.1)其中g(shù)(u)=u-n，n＞0，Ω是有界區(qū)間。首先考慮齊次Neumann和無(wú)流邊界條件下的初邊值問(wèn)題。我們先應(yīng)用代數(shù)的方法推導(dǎo)解的熵估計(jì)，它蘊(yùn)含著解的某些一致估計(jì)，是證明解的存在唯一性和漸近行為的關(guān)鍵。進(jìn)一步，應(yīng)用已建立的熵耗散估計(jì)和逼近的思想，證明初邊值問(wèn)題存在唯一的全局古典解，并且解一致收斂到它的平