四階微分方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題的解.pdf

1、本文主要研究四階微分方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題解的存在性與多解性.論文分兩部分對(duì)兩類(lèi)四階非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行了討論.在第一章中，對(duì)一類(lèi)帶變系數(shù)的四階Neumann邊值問(wèn)題，我們利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和Leggett-Williams三解定理研究解的存在性及多解性.在非線(xiàn)性項(xiàng)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，我們分別得到邊值問(wèn)題至少存在一個(gè)正解，兩個(gè)正解以及三個(gè)非負(fù)解的結(jié)論.在第二章中，我們討論了帶兩個(gè)參數(shù)的四階邊值問(wèn)題的解的存在性及多解性.利用臨

2、界點(diǎn)理論和無(wú)窮維Morse理論，我們對(duì)非線(xiàn)性項(xiàng)進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)牟煌拗?，通過(guò)對(duì)原點(diǎn)以及無(wú)窮遠(yuǎn)處的共振性質(zhì)加以討論，分別得到邊值問(wèn)題至少存在一個(gè)解，一個(gè)非平凡解以及兩個(gè)非平凡解的結(jié)論.
　　下面，我們對(duì)本文的主要結(jié)果加以具體闡述.
　　在第一章中，我們研究以下邊值問(wèn)題｛u(4)(t)-2αu"(t)+b(t)u(t)=f(t，u(t))，t∈[0，1]，(1.1.1)u'(0)=u'(1)=u'"(0)=u'"(1)=0正解的存

3、在性，其中α，b，f滿(mǎn)足如下的條件
　　(H1)b:[0,1]→(0，+∞)連續(xù);
　　(H2)α＞0，且M≤α2，M=max t∈[0,1] b(t);
　　(H3)f:[0，1]×[0，+∞)→[0,+∞）連續(xù).
　　在這里先引入一些記號(hào)，記m=min t∈[0,1] b(t)，f0=lim sup u→0+ max t∈[0,1]f(t,u)/u，f∞=lim sup u→+∞ max t∈[0,1]f(t

4、,u)/u,f0=lim inf u→0+ min t∈[0,1]f(t,u)/u，f∞=lim inf u→+∞ min t∈[0，1]f(t,u)/u.
　　主要結(jié)論如下:
　　定理1.3.1.設(shè)下列條件之一成立，
　　(i)f0＜m,f∞＞M;
　　(ii)f0＞M，f∞＜m，則邊值問(wèn)題(1.1.1)至少有一個(gè)正解.
　　定理1.3.2.若f0＞M,f∞＞M，且存在p＞0，使得max{f(t，x):t

5、∈[0，1]，x∈[δp，p]}＜mp，其中δ=m/α2cosh4√α為常數(shù)，則邊值問(wèn)題(1.1.1)至少存在兩個(gè)正解.
　　定理1.3.3.若存在實(shí)數(shù)a，d，0＜d＜a，使得f(t,u)＜md，t∈[0,1],u∈[0,d],f(t，u）＞ aα2,t∈[0，1]，u∈[a，α/δ]，進(jìn)一步，假設(shè)下面條件之一滿(mǎn)足
　　(i) lim u→0+ max t∈[0,1]f(t,u)/u＜m,
　　(ii)存在數(shù)c使得c＞

6、 a/δ,u∈[0，c]，t∈[0，1]，那么就有f(t，u)＜mc.那么邊值問(wèn)題(1.1.1)有至少三個(gè)非負(fù)解.
　　在第二章中，我們主要研究含參數(shù)的半線(xiàn)性四階Neumann邊值問(wèn)題｛u(4)(t)-ηu"(t)+ξu(t)=f(t,u(t)),t∈[0,1],(2.1.1)u'(0)=u'(1)=u'"(0)=u'"(1)=0.解的存在性和多解性，其中f∈C1([0，1]×R，R)，ξ，η∈R都是參數(shù)，且滿(mǎn)足條件:0＜ξ≤η2

7、/4，η＞-π2/4.
　　首先作下列基本假設(shè):
　　(H1)lim|u|→∞2F(t,u)/u2=k4π4+ηk2π2+ξ，t∈[0，1]，其中k∈N∪{0};
　　(H2)lim|u|→∞(f(t, u)u-2F(t,u))=+∞,t∈[0,1];
　　(H3) m4π4+ηm2π2+ξ/2u2≤F（t，u）≤(m+1)4+π4+η(m+1)2π2+ξ/2u2，|u|≤α，t∈[0，1];
　　(H4)

8、F（t，u）≥m4π4+ηm2π2+ξ/2u2，|u|≤α，t∈[0，1];
　　(H5)lim|u|→0F(t,u)/u2＜ξ/2對(duì)t∈[0，1]一致成立.
　　主要結(jié)論如下:
　　定理2.3.1.設(shè)對(duì)k≥1，(H1)和(H2)滿(mǎn)足，那么邊值問(wèn)題(2.1.1)至少有一個(gè)解.
　　定理2.3.2.假設(shè)f(t，0)=0，對(duì)k≥1，(H1)和(H2)滿(mǎn)足，如果同時(shí)還滿(mǎn)足下面的條件之一
　　(i)m≠k，(H3)