幾類退化的同宿與異宿軌道的分支問題.pdf

1、同宿、異宿軌道作為動力系統(tǒng)理論中一類非常有趣的不變集,曾引起了許多專家學(xué)者的關(guān)注.人們知道Smale馬蹄為我們描述了混沌的動力學(xué)行為,那么什么會觸發(fā)混沌由Birkhoff-Smale定理我們知道當(dāng)一個映射f出現(xiàn)橫截同宿點(diǎn)時(shí)就意味著出現(xiàn)Smale馬蹄,發(fā)生混沌運(yùn)動.因此對同宿、異宿軌道分支的研究能讓我們更好的理解復(fù)雜的動力學(xué)行為.本文主要利用指數(shù)二分、Fredholm更替原理、Lyapunove-Schmidt約化來研究幾類退化的同宿、異

2、宿軌道的分支問題.全文共分為如下六個章節(jié):
　　第一章,主要介紹所研究問題的背景、發(fā)展?fàn)顩r,最后簡單的介紹本文的主要結(jié)論和所使用的符號.
　　第二章,介紹研究問題的主要工具—Melnikov方法、Lyapunov-Schmidt約化、指數(shù)二分性.第一節(jié)我們詳細(xì)介紹了利用Melnikov方法處理一平面Hamiltonian系統(tǒng)在周期擾動下的同宿軌保持問題.同時(shí)給出了擾動系統(tǒng)的周期映射出現(xiàn)橫截同宿點(diǎn)的條件.第二節(jié)中我們介紹了利用

3、Lyapunov-Schmidt約化方法在求解一有界線性算子方程過程中是如何降低維數(shù)的.第三節(jié)中我們詳細(xì)介紹了有限維與無窮維空間中指數(shù)二分性的定義及其在同宿、異宿軌道分支中的應(yīng)用.
　　第三章,考慮一個n維自治常微分方程.假設(shè)其具有異宿于兩個雙曲平衡點(diǎn)的異宿軌,且此異宿軌的變分方程具有三個線性無關(guān)的有界解,其對偶方程具有兩個線性無關(guān)的有界解.我們研究了這個退化的異宿軌在周期擾動下的分支問題.利用指數(shù)二分性與Lyapunov-Sch

4、midt約化方法我們推導(dǎo)出了一個分支函數(shù).分支函數(shù)零點(diǎn)的存在性就對應(yīng)著未擾動的異宿軌在周期擾動下的異宿軌的保持.分支函數(shù)關(guān)于參數(shù)Taylor展開的低階項(xiàng)為兩個實(shí)二次型方程.二次型所對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣由一些Melnikov型的積分構(gòu)成.根據(jù)實(shí)對稱矩陣的特征值類型,將二次型方程分為直線型、雙曲線型、橢圓型.利用特定的圓旋轉(zhuǎn)及雙曲旋轉(zhuǎn)將這兩個實(shí)對稱矩陣同時(shí)合同對角化,使得二次型方程化為標(biāo)準(zhǔn)形.在化為標(biāo)準(zhǔn)形的二次型方程中確定出方程具有兩個或四個簡

5、單零點(diǎn)的條件.應(yīng)用隱函數(shù)定理得出分支函數(shù)具有兩個或四個零點(diǎn).即未擾動的退化的異宿軌在周期擾動下會分支出兩個或四個異宿軌.同時(shí)這些異宿軌的變分方程的有界解只有零解.即擾動方程所對應(yīng)的周期映射存在兩個或四個橫截異宿點(diǎn),因此擾動系統(tǒng)存在兩個或四個混沌運(yùn)動.
　　第四章,考慮一個具有同宿于雙曲平衡點(diǎn)的退化同宿軌的拋物方程.假設(shè)沿著同宿軌的變分方程的線性無關(guān)的有界解的個數(shù)是任意的有限數(shù).我們研究了這個拋物方程在周期擾動下從退化的同宿軌附近分

6、支出周期解的問題.首先應(yīng)用指數(shù)二分性與常數(shù)變異公式構(gòu)造出擾動方程的解.然后利用Fredholm交替定理和Lyapunov-Schmidt約化推導(dǎo)出了滿足周期解的條件.即得出分支函數(shù),其定義域及值域都是有限維的空間.分支函數(shù)零點(diǎn)的存在性就對應(yīng)著擾動方程周期解的存在性.在一定的條件下,我們得出擾動方程會從退化的同宿軌附近分支出周期解.
　　第五章,考慮一特殊形式的快慢系統(tǒng).設(shè)快、慢變量分別為x、y.此特殊形式,通過對慢變量應(yīng)用平均變化

7、即可化為形如這樣的方程.假設(shè)未擾動的快系統(tǒng)在xoy面具有一個退化的同宿于雙曲平衡點(diǎn)的同宿軌.對于慢系統(tǒng)假設(shè)原點(diǎn)為其雙曲平衡點(diǎn).我們研究了這個快慢系統(tǒng)從快變量的退化同宿軌附近分支出周期解的問題.由慢系統(tǒng)的一些雙曲性得到擾動后的一個有界解,然后將其帶入到快系統(tǒng)中將快慢系統(tǒng)解耦.利用指數(shù)二分性與Lyapunov-Schmidt約化方法推導(dǎo)出相應(yīng)的分支函數(shù).在分支函數(shù)零點(diǎn)可解的條件下,得出在附近分支出周期解.同時(shí)給出了一個例子來驗(yàn)證我們的結(jié)論.