幾類退化的同宿與異宿軌道的分支問題.pdf

1、同宿、異宿軌道作為動力系統(tǒng)理論中一類非常有趣的不變集,曾引起了許多專家學者的關注.人們知道Smale馬蹄為我們描述了混沌的動力學行為,那么什么會觸發(fā)混沌由Birkhoff-Smale定理我們知道當一個映射f出現(xiàn)橫截同宿點時就意味著出現(xiàn)Smale馬蹄,發(fā)生混沌運動.因此對同宿、異宿軌道分支的研究能讓我們更好的理解復雜的動力學行為.本文主要利用指數(shù)二分、Fredholm更替原理、Lyapunove-Schmidt約化來研究幾類退化的同宿、異

2、宿軌道的分支問題.全文共分為如下六個章節(jié):
　　第一章,主要介紹所研究問題的背景、發(fā)展狀況,最后簡單的介紹本文的主要結論和所使用的符號.
　　第二章,介紹研究問題的主要工具—Melnikov方法、Lyapunov-Schmidt約化、指數(shù)二分性.第一節(jié)我們詳細介紹了利用Melnikov方法處理一平面Hamiltonian系統(tǒng)在周期擾動下的同宿軌保持問題.同時給出了擾動系統(tǒng)的周期映射出現(xiàn)橫截同宿點的條件.第二節(jié)中我們介紹了利用

3、Lyapunov-Schmidt約化方法在求解一有界線性算子方程過程中是如何降低維數(shù)的.第三節(jié)中我們詳細介紹了有限維與無窮維空間中指數(shù)二分性的定義及其在同宿、異宿軌道分支中的應用.
　　第三章,考慮一個n維自治常微分方程.假設其具有異宿于兩個雙曲平衡點的異宿軌,且此異宿軌的變分方程具有三個線性無關的有界解,其對偶方程具有兩個線性無關的有界解.我們研究了這個退化的異宿軌在周期擾動下的分支問題.利用指數(shù)二分性與Lyapunov-Sch

4、midt約化方法我們推導出了一個分支函數(shù).分支函數(shù)零點的存在性就對應著未擾動的異宿軌在周期擾動下的異宿軌的保持.分支函數(shù)關于參數(shù)Taylor展開的低階項為兩個實二次型方程.二次型所對應的實對稱矩陣由一些Melnikov型的積分構成.根據(jù)實對稱矩陣的特征值類型,將二次型方程分為直線型、雙曲線型、橢圓型.利用特定的圓旋轉及雙曲旋轉將這兩個實對稱矩陣同時合同對角化,使得二次型方程化為標準形.在化為標準形的二次型方程中確定出方程具有兩個或四個簡

5、單零點的條件.應用隱函數(shù)定理得出分支函數(shù)具有兩個或四個零點.即未擾動的退化的異宿軌在周期擾動下會分支出兩個或四個異宿軌.同時這些異宿軌的變分方程的有界解只有零解.即擾動方程所對應的周期映射存在兩個或四個橫截異宿點,因此擾動系統(tǒng)存在兩個或四個混沌運動.
　　第四章,考慮一個具有同宿于雙曲平衡點的退化同宿軌的拋物方程.假設沿著同宿軌的變分方程的線性無關的有界解的個數(shù)是任意的有限數(shù).我們研究了這個拋物方程在周期擾動下從退化的同宿軌附近分

6、支出周期解的問題.首先應用指數(shù)二分性與常數(shù)變異公式構造出擾動方程的解.然后利用Fredholm交替定理和Lyapunov-Schmidt約化推導出了滿足周期解的條件.即得出分支函數(shù),其定義域及值域都是有限維的空間.分支函數(shù)零點的存在性就對應著擾動方程周期解的存在性.在一定的條件下,我們得出擾動方程會從退化的同宿軌附近分支出周期解.
　　第五章,考慮一特殊形式的快慢系統(tǒng).設快、慢變量分別為x、y.此特殊形式,通過對慢變量應用平均變化

7、即可化為形如這樣的方程.假設未擾動的快系統(tǒng)在xoy面具有一個退化的同宿于雙曲平衡點的同宿軌.對于慢系統(tǒng)假設原點為其雙曲平衡點.我們研究了這個快慢系統(tǒng)從快變量的退化同宿軌附近分支出周期解的問題.由慢系統(tǒng)的一些雙曲性得到擾動后的一個有界解,然后將其帶入到快系統(tǒng)中將快慢系統(tǒng)解耦.利用指數(shù)二分性與Lyapunov-Schmidt約化方法推導出相應的分支函數(shù).在分支函數(shù)零點可解的條件下,得出在附近分支出周期解.同時給出了一個例子來驗證我們的結論.