隨機穩(wěn)定，隨機吸引和同異宿環(huán)分支.pdf

1、本文主要研究帶有可加噪聲擾動的隨機微分方程的穩(wěn)定性問題，隨機吸引子的存在性問題以及同異宿軌道分支問題．全文內(nèi)容共分兩部分．
　　在第一部分，首先考慮了可失掉免疫力的隨機SIRS模型和帶有分布時滯的隨機SIRS模型．在SIRS人口模型中，γ代表康復(fù)人群失掉免疫力的比率．對于γ=0的情況，文章中已有研究．本文得到了可失掉免疫力的隨機SIRS模型的隨機穩(wěn)定性條件．對于不含有時滯的SIRS系統(tǒng)，我們的條件0＜β＜λ+μ-（σ2）/2推廣了

2、文獻中對γ=0的已有結(jié)果．我們采用待定Lyapunov泛函的方法得到理論結(jié)果．在此基礎(chǔ)上，我們進行了三組數(shù)值模擬，模擬結(jié)果證實了理論結(jié)果的可靠性，同時我們猜測免疫能力喪失與否，不會改變疾病消失平衡點穩(wěn)定的臨界值．其次，研究了定義在整個Rn上的帶有可加噪聲的隨機Ginzburg-Landau方程，證明了當(dāng)√3k≥|β|時，由帶有可加噪聲的隨機Ginzburg-Landau方程定義的隨機動力系統(tǒng)Φ在L2（Rn）上有唯一的D-隨機吸引子．考慮

3、到無界區(qū)域上Sobolev嵌入的緊性不再成立，通常的方法就不再能夠保證解算子Φ是一個緊算子，從而給吸引子存在性的判斷帶來了很大的挑戰(zhàn)．在確定性方程中，克服這個困難我們可以采用能量方程的辦法．然而對于定義在無界區(qū)域上的隨機吸引子存在性的判斷，一直以來沒有找到有效解決的辦法．本文通過尾數(shù)估計的辦法首先得到解算子Φ的漸進緊性，再加上Φ存在閉的隨機吸引集，從而證明了隨機吸引子的存在性．
　　論文第二部分，我們分別研究了帶有傾斜翻轉(zhuǎn)的3D同

4、宿軌道分支，扭曲雙同宿環(huán)分支和帶有軌道翻轉(zhuǎn)的異維環(huán)分支問題．在這部分，我們研究光滑系統(tǒng)z=f（z）+g（z，μ）（1），及其未擾動系統(tǒng)z=f（z）（2），其中z∈Rm+n+2，m≥0，n≥0，m+n＞0，μ∈Rl，l≥2，0≤||μ||＜＜1，g（z，0）=0．||·||代表Rl空間中由內(nèi)積定義的模．我們采用了局部活動坐標(biāo)架的方法．考慮到穩(wěn)定葉層和不穩(wěn)定葉層在同宿環(huán)小鄰域內(nèi)的動力學(xué)行為中扮演著強勢的關(guān)鍵角色．因此，在一次近似的意義下，由

5、穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形沿同宿或異宿軌道組成的切向量叢，充分保留并展示了同宿軌道附近的動力學(xué)性質(zhì)，如幾何不變性，翻轉(zhuǎn)性，扭曲性，擴張性和壓縮性等．因此，巧妙的選取沿著同異宿軌道的切向量叢及其補空間叢中的向量叢組成活動坐標(biāo)架，不僅可以將系統(tǒng)化為較為簡單的形式，而且由此得到的Poincare映射和分支方程中的關(guān)鍵參數(shù)具有明確的幾何和動力學(xué)意義．首先研究帶有傾斜翻轉(zhuǎn)的非共振3D同宿環(huán)分支．即，m=0，n=1，l=2，f（0）=0．系統(tǒng)（2）的線性

6、變分系統(tǒng)及其伴隨系統(tǒng)分別為z=Df（r（t））z，（3）z=-（Df（r（t）））*z．（4）令r（t）=（rx（t），ry（t），rv（t））．取T＞0充分大，使得r（-T）=（δ，0，0），r（T）=（0，δ，δv），其中|δv|=o（δ），δ充分小，滿足{（x，y，v）：|x|，|y|，|v|＜2δ}∈U．則系統(tǒng)（3）有一個基解矩陣Z（t）滿足相關(guān)等式，其中|ω23|<<1，ω21＜0，ω11≠0，ω32≠0．系統(tǒng)（4）有一個基解

7、矩陣Φ（t）=(Z-1（t）)*，其中Φ（t）=（Φ1（t），Φ2（t），Φ3（t））．記Mj=∫（-T，T）（Φj（t））*gμ（r（t），0）dt，j=1，3．我們首先考慮不存在強傾斜翻轉(zhuǎn)的同宿環(huán)分支，即ω33≠0．這種情況下，分支結(jié)果是唯一的，即系統(tǒng)（1）或者保存原來的同宿軌道，或者分支出唯一的周期軌．其次，在強傾斜翻轉(zhuǎn)的情況下，即當(dāng)ω33=0時，我們同樣得到分支結(jié)果是唯一的，即對于系統(tǒng)（1）來說，或者同宿軌道保存，或者分支出唯一

8、的周期軌．最后，我們考慮帶有強傾斜翻轉(zhuǎn)的’弱型’同宿軌分支，即當(dāng)ω33=0，δv=0時．我們得到了1-同宿軌分支曲面，2重周期軌分支曲面及周期為2n-1的周期軌道發(fā)生周期加倍的倍周期分支曲面P2n以及任意的2n-同宿分支曲面H2n的存在性，任意 n∈N．同時，為了更好的說明我們的分支結(jié)果，我們給出了完整的分支圖．其次，研究余維為2的扭曲雙同宿環(huán)分支．考慮Cr系統(tǒng)，同時m≥0，n≥0，m+n＞0，1≥2，f（0）=0．與前面帶有傾斜翻轉(zhuǎn)的

9、3D同宿環(huán)分支不同的是，未擾動向量場（2）的退化性只來自雙同宿環(huán)本身．在其中一條軌道發(fā)生扭曲時，我們得到了1-1雙同宿軌道，2-1雙同宿軌道，2-1右同宿軌道，1-1大同宿軌道，2-1大同宿軌道和2-1大周期軌道的存在和唯一性．在兩條同宿軌道均發(fā)生扭曲時，我們得到了1-1雙同宿軌道，1-2雙同宿軌道，2-1雙同宿軌道，2-2雙同宿軌道，2-1大同宿軌道，1-2大同宿軌道，2-2大同宿軌道，2-2右同宿軌道，2-2大同宿軌道，2-2左同宿

10、軌道和2-2大周期軌道的存在性和不存在性．此處，右（或者左）指相應(yīng)的軌道圍繞Γ1（或者Γ2）轉(zhuǎn)的時間為無窮大，而在另一條同宿軌道小鄰域內(nèi)轉(zhuǎn)的時間為有限的．大軌道指圍繞整個雙同宿環(huán)Γ=Γ1∪Γ2且在其小鄰域內(nèi)的軌道．p-q軌道指該軌道在Γ=Γ1∪Γ2得小鄰域內(nèi)圍繞Γ1轉(zhuǎn)p圈，圍繞Γ2轉(zhuǎn)q圈．同時，我們給出了具體的分支曲面及其存在區(qū)域．并在由前兩個Melnikov向量組成的2維子空間上畫出了各種分支集．
　　最后，研究帶有軌道翻轉(zhuǎn)的異

11、維環(huán)分支．關(guān)于異維環(huán)的課題研究，是極具挑戰(zhàn)性和難度的一個課題，這主要體現(xiàn)在：等維的異宿環(huán)的連接軌道的余維數(shù)是均勻分布的（一般為1），而異維環(huán)的連接軌道的余維數(shù)是非均勻分布，甚至是集中分布的，并由此導(dǎo)致了分支方程的強退化性．設(shè)z∈R4，μ∈Rl，l≥2，且未擾系統(tǒng)（2）有兩個奇點p1，p2，即f（pi）=0，g（pi，μ）=0，i=1，2．我們考慮帶有軌道翻轉(zhuǎn)的異維環(huán)分支，給出了同宿軌道，異宿軌道和周期軌道的存在性，唯一性和不存在性．同時