彈性波在不同介質(zhì)中的傳播及其穩(wěn)定性分析.pdf

1、本文主要研究彈性波在不同介質(zhì)中的傳播及其穩(wěn)定性分析.運用Galerkin逼近方法證明了邊界值問題的解的存在性與唯一性，而且運用Nakao引理和乘子技巧證明了能量的穩(wěn)定性，即能量的一般衰減性，包括能量的指數(shù)衰減和多項式衰減.
　　 第二章主要研究帶有非線性阻尼邊界條件的彈性波的邊界值問題及其能量的衰減性更確切地說，我們研究上面方程的強解和弱解的存在性與唯一性及其能量的衰減性.在本章中，我們克服的主要困難有三點：
　　 第一

2、，由于我們考慮的是非線性阻尼邊界條件，通常的Galerkin逼近方法在這里失效，因此，需要通過變量代換轉(zhuǎn)化為初值為零的等價問題；
　　 第二，由于邊界條件上的非線性阻尼項g(ut)和非線性源項f(u)的出現(xiàn)，在通過極限的過程中，帶來一些困難.為了克服這些困難，我們用緊性和單調(diào)性討論；
　　 最后，因為局部耗散項b(x)ut，經(jīng)典的能量方法在這里失效，因此運用擾動的能量方法和乘子技巧克服這個困難，從而得到能量的指數(shù)衰減.<

3、br>　　 第三章研究了一類廣泛的彈性波在彈性介質(zhì)中的邊界值問題及其穩(wěn)定性分析.運用非線性半群方法得到強解或者弱解的存在性與唯一性，然后運用擾動的能量方法和乘子技巧得到能量的指數(shù)衰減，推廣了第二章的主要結(jié)果.更確切地說，我們研究帶有梯度項和非線性邊界阻尼條件的Klein-Gordon型方程()證明的主要困難除了跟上述第二章的情形一樣的困難外，還有以下兩點：
　　 第一，由于上述方程中出現(xiàn)了梯度項和非線性源項，逼近解的構(gòu)造更加復

4、雜，因此，運用非線性半群方法得到強解或者弱解的存在性與唯一性。更確切地說，我們把上述方程轉(zhuǎn)化為抽象的柯西問題
　　 dU/dt+AU=F(U)，接下來，只要證明算子A在Hirbert空間H=V×H中產(chǎn)生C0類壓縮半群.也就是說，證明算子A在Hilbert空間H=V×H中滿足
　　 (Au-Av，u-v)H≥0，()u，v∈D(A)(單調(diào)性條件)，
　　 R(I+A)=H，(極大性條件)，這里R(I+A)為I+A的

5、值域，I為恒等算子.
　　 第二，由于非線性阻尼邊界條件和耗散項的出現(xiàn)，能量估計更加困難更加具有技巧性，運用擾動的能量方法和乘子技巧得到能量的指數(shù)衰減.
　　 第四章研究了彈性波在粘彈性介質(zhì)中的邊界值問題及其穩(wěn)定性分析.更確切地說，我們研究了帶有非線性局部阻尼項和依賴于速度的粘彈性材料的密度的非線性粘彈性波方程
　　 由于方程中出現(xiàn)局部非線性阻尼項a(x)ut｜ut｜k，非線性源項bu｜u｜r和非線性項M(τ)，

6、松弛函數(shù)g(t)，使得能量估計更加困難，分別運用Galerkin逼近方法和擾動的能量方法研究了解的存在性與唯一性及其能量的一般衰減性.而且，對于某些初值和對松弛函數(shù)的適當?shù)募僭O，我們證明了能量的衰減率取決于松弛函數(shù)g(t)的衰減率.更確切地說，若松弛函數(shù)g(t)是指數(shù)性衰減為零，則能量也是指數(shù)性衰減為零，若松弛函數(shù)g(t)是多項式衰減為零，則能量也是多項式衰減為零，這個結(jié)果推廣了早期文獻的結(jié)果。詳見第四章.
　　 第五章研究了彈

7、性波在各向同性的不可壓介質(zhì)中的邊界值問題及其穩(wěn)定性分析.更確切地說，我們研究了下面的非線性彈性波方程證明的主要困難有兩個：
　　 第一，由于各向同性和不可壓的介質(zhì)的性質(zhì)，需要先驗估計時，我們運用Sobolev嵌入理論和乘子技巧克服一些困難，從而得到解的存在性與唯一性：
　　 第二，由于局部的非線性耗散效應ρ(x，ut)，進行能量估計時遇到一些困難.為了克服這些困難，運用Nakao引理和乘子技巧得到能量的一般衰減性.證明的

8、關鍵在于如何得到：能量關于時間t是一般的衰減的結(jié)論(包括能量的指數(shù)衰減和能量的多項式衰減).這里我們采用了第二、三、四章的基本思想(即乘子技巧)，但是我們的能量估計方法是新穎的，而且由于各向同性的不可壓介質(zhì)中的彈性波以及非線性局部耗散效應，我們不能直接應用經(jīng)典的能量估計方法，這里我們巧妙地構(gòu)造了一系列的乘子和運用Nakao引理來克服這個困難.
　　 在最后一部分(附錄)，若忽略壓力項，ρ(x，ut)=a(x)ut，考慮到彈性波在

9、各向異性介質(zhì)中的傳播，我們研究了彈性波在各向異性介質(zhì)中的邊界值問題及其穩(wěn)定性分析.更確切地說，我們研究了如下的非線性彈性波方程運用非線性半群方法證明解的存在性與唯一性及其能量的指數(shù)衰減性.也就是說，我們分為兩個步驟證明：
　　 第一步，我們證明解的存在性與唯一性.為了進一步分析，我們把上面的方程轉(zhuǎn)化為下面的抽象的柯西問題
　　 dU/dt=AU，U(0)=U0，基于非線性半群理論，我們將證明算子A產(chǎn)生Hilbert空間H