關于Erd_s,Herzog和Sch_nheim的一個公開問題.pdf

1、1970年，Erdos，Herzog和Schonheim證明了：設D是正整數(shù)N的正因數(shù)構成的一個集合，|D|=m，且N的標準分解式為N=ptα1…pnαn，α1≥α2≥…≥αn.如果D中元素兩兩不互素并且不能添加N的其它因數(shù)使得新構成的集合中元素依然兩兩不互素，則m≥αn∏ni=1n-1(αi+1).為了敘述方便，我們將滿足上述條件的集合D稱為極大N-集，并且規(guī)定文章中出現(xiàn)的因數(shù)均是指正因數(shù)。他們在文章末尾提出了一個問題：試刻畫出使得等

2、號成立的所有極大N-集D。在本文中我們解決了這個問題，主要的結論如下(Discrete Applied Mathematics(2012)，doi：10.1016/j.dam.2012.02.013)：
　　設N=p1α1…pnαn為N的標準分解式，其中α1≥α2≥…≥αu>αu+1=…=αn。
　　(1)若αn≥2，則D是一個極大N-集且當且僅當存在v，u+1≤u≤n滿足
　　(2)若an=1，則D是一個極大N-集且

3、當且僅當存在一個極大Pu+1…Pn-集D’使得
　　(3)若an≥2，D是一個極大N-集，記
　　d(D)={d∈D：對任何d’∈D＼fix1rn7都有d'f d}，則當且僅當d(D)={pv)對于某個u+1≤v≤n成立。
　　(4)若αn=1，D是一個極大N-集，則當且僅當d(D)∈{d：d|pu+1…pn}(d(D)的定義同上)。
　　(5)若αn=1，集合T1，…，Tk是所有由pu+1…pn的正因數(shù)構成并且滿足以下

4、三個條件的集合T：
　　(a)集合丁中的元素兩兩不互素；
　　(b)集合T中的元素沒有整除關系；
　　(c)pu+1…pn中的任一因數(shù)或者與集合T中的某個元素互素，或者被集合T中的某個元素整除，則R(T1，N)，…，R(Tk，N)就是所有滿足的極大N-集D，其中R(Ti，N)=∪t∈Ti{d：d|N，t|d}。
　　(6)若αn≥2，則R({pu+1}，N)，…，R({pn}，N)就是所有滿足的極大N-集D.(R