單種群模型的分支問題.pdf

1、微分方程所描述的種群模型廣泛地來源于人口統(tǒng)計學(xué)、生態(tài)學(xué)和傳染病學(xué)等學(xué)科。通過研究分支問題來分析它們的動力學(xué)性質(zhì)是微分方程和生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個非常重要的課題。分支問題的研究對象是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，即當參數(shù)變化并經(jīng)過某些臨界值時，方程解的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生“突變”。對種群模型的分支問題的研究可以幫助了解某些參數(shù)（如生物的生存空間和成熟期等）對種群動力學(xué)的影響（如以平衡的狀態(tài)生存或產(chǎn)生突然的振蕩），進而可以使得物種朝著人類所期望的方向演化。同時，通過

2、對具體的種群模型的研究往往能發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象，甚至可能推動微分方程理論的發(fā)展。本文研究具齊次-Dirichlet邊界條件的時滯反應(yīng)擴散種群模型和具非線性邊界條件的一階偏微分種群模型的分支問題。
　　首先，研究了一個具擴散和齊次-Dirichlet邊界條件的時滯果蠅模型。使用平面動力系統(tǒng)軌道分析的方法證明了具零-Dirichlet邊界條件的模型的穩(wěn)態(tài)分支的存在性和一個特殊的正-Dirichlet邊界條件下的模型正解的存在唯一性；并

3、且發(fā)現(xiàn)了在正-Dirichlet邊界條件下擴散會使模型變得更穩(wěn)定。同時，使用中心流形定理和規(guī)范型方法得到了具正-Dirichlet邊界條件的模型的Hopf分支的存在性、分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性。
　　其次，研究了一類單位增長率只與種群的歷史密度有關(guān)的（包括logistic型和弱Allee型）具零-Dirichlet邊界條件的時滯反應(yīng)擴散種群模型。定義了前向（后向）Hopf分支，并分別對具前向穩(wěn)態(tài)分支的logistic型模型和具

4、后向穩(wěn)態(tài)分支的弱Allee型模型用Liapunov-Schmidt方法以時滯為參數(shù)證明了空間非齊次平衡解附近的前向Hopf分支的存在性。
　　再次，研究了一個單位增長率既依賴于種群歷史密度又與當前密度有關(guān)的具零-Dirichlet邊界條件的時滯反應(yīng)擴散種群模型。以生物的成熟期（時滯）為參數(shù)使用中心流形定理和規(guī)范型方法得到了當歷史密度對單位增長率的影響大于當前密度時空間非齊次平衡解附近的Hopf分支的存在性，分支方向和分支周期解的穩(wěn)

5、定性；同時，構(gòu)造一對上下解，證明了模型周期解的一致有界性，進而應(yīng)用全局Hopf分支定理得到了局部Hopf分支的全局延拓結(jié)果。
　　最后，研究了一個具年齡結(jié)構(gòu)的瘧疾模型。使用具年齡結(jié)構(gòu)模型的Hopf分支定理，證明了當瘧原蟲的最大復(fù)制率接近一個臨界值時，模型出現(xiàn)由Hopf分支產(chǎn)生的周期解，這表明瘧原蟲進入血紅細胞和被血紅細胞釋放都是幾乎同步的。給出了計算最大復(fù)制率的臨界值的方法，并發(fā)現(xiàn)了使得同步現(xiàn)象出現(xiàn)的爆破率和最大復(fù)制率臨界值的某些