一類二階常微分方程(組)邊值問(wèn)題的正解.pdf

1、非線性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性尤其是正解的存在性問(wèn)題，是應(yīng)用和理論中令人感興趣的關(guān)鍵問(wèn)題，在整個(gè)常微分方程研究領(lǐng)域，顯得尤為重要。特別是二階常微分方程邊值問(wèn)題一直是微分方程研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題，它在物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)及社會(huì)學(xué)等研究領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用背景和重要的理論指導(dǎo)意義。 近幾十年來(lái)，隨著非線性泛函分析這支學(xué)科理論的出現(xiàn)，利用其中的上下解方法，迭合度方法，錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理等方法解決非線性常微分方程邊值問(wèn)題收到

2、了很好的效果，取得了巨大的進(jìn)展和成功，國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者也陸續(xù)得到了很多重要的成果（參見(jiàn)文獻(xiàn)[4—19]）。關(guān)于非線性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究也有了一些討論（參見(jiàn)文獻(xiàn)[4—6，8—16]），其中Zhanbing Bai，Weigao Ge在文獻(xiàn)[6]中，利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論推廣了Leggett—Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，并把它應(yīng)用到了一類非線性邊值問(wèn)題中去。受文[6]啟發(fā)，本文討論了一類二階非線性Robin邊值問(wèn)題。 非線性微

3、分方程組邊值問(wèn)題起源于流體力學(xué)，邊界層理論，非線性光學(xué)等應(yīng)用學(xué)科，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一。由于這種方程呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)具有深刻的物理背景和現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型與自然現(xiàn)象及其吻合，而且應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)中有大量模型均可以歸結(jié)為方程組邊值問(wèn)題正解的存在性，所以研究微分方程組邊值問(wèn)題正解的存在性具有深刻的內(nèi)在價(jià)值。 關(guān)于二階非線性常微分方程邊值問(wèn)題的研究，已有豐富的結(jié)果。相比之下，對(duì)于二階非線性常微分方程組邊值問(wèn)題的研究要更加困難，

4、研究的人較少，相應(yīng)的文獻(xiàn)也要少得多（見(jiàn)文獻(xiàn)[20—32]）。且在這些文獻(xiàn)中，非線性項(xiàng)均不含一階導(dǎo)數(shù)。 本文共分三章，主要利用了非線性泛函分析中的理論和方法以及錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論，討論了一類二階常微分方程和常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，給出了正解存在性定理。 第一章介紹了非線性邊值問(wèn)題的研究目的及意義、國(guó)內(nèi)外研究概況和本文研究?jī)?nèi)容相關(guān)的基本概念和定理。 第二章主要討論了一類非線性二階Robin型邊值問(wèn)題正解的存在性，得

5、出了下列邊值問(wèn)題在某些條件下至少三個(gè)正解的存在性定理及相關(guān)推論。 第三章則是把第二章中得到的存在性定理推廣應(yīng)用到常微分方程組中，建立了如下二階常微分方程組Robin邊值問(wèn)題正解存在性的判別定理。 目前有關(guān)二階常微分方程組兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的文獻(xiàn)（見(jiàn)[20—29]）大都考慮的是如下幾種形式：其中λ>0為參數(shù)，f1，f2：R+×R+→R連續(xù)，R+=[0，∞）而對(duì)于非線性項(xiàng)含有一階導(dǎo)數(shù)的Robin型邊值問(wèn)題并不多見(jiàn)，本章就對(duì)此類問(wèn)題