譜方法在一類數(shù)學物理反問題中的應用.pdf

1、本文中,我們主要討論了譜方法在一些反問題中的應用。
　　第一章,主要介紹了譜方法的一些基本知識,以及論文后面所需要的引理。
　　第二章,介紹了譜方法在第二類Volterra型積分方程中的應用,并且給出了嚴格的收斂性分析,并在此基礎上介紹了目前國際上最新的進展。然后根據(jù)第一節(jié)中提出的方法我們建立了一種新的后處理方法來解決初值問題,譬如常微分方程,哈密爾頓系統(tǒng)等,并對一些低精度的格式改進得到了高精度格式。最后,我們利用現(xiàn)有的方法

2、對提出的新的后處理格式進行了穩(wěn)定性分析,并且與現(xiàn)有的后處理方式進行了比較,得到了穩(wěn)定區(qū)域與精度區(qū)域的中間結果,即比顯格式要更穩(wěn)定更精確,但是比隱格式差的結論。
　　第三章,根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的定義,我們可以把分數(shù)階積分方程視為一類積分微分方程。首先我們詳細介紹了分數(shù)階微分以及積分的定義,性質。然后對一般的初邊值問題,得到了更為一般的極大值原理以及在差分離散格式意義下的極值原理,并給出了數(shù)值算例,得到了差分意義下在時間方向上的收斂速度,

3、即代數(shù)精度2-α。然后我們根據(jù)第一章中提出的譜方法,提出了一種在時間方向和空間方向同時到達譜精度的數(shù)值格式。在本章中,我們還詳細地研究了分數(shù)階方程中的反問題,包括反演源項問題,反演邊界條件問題以及缺失部分邊界條件下的求解問題。在某些特定的條件下,我們可以得到該方程的Carleman估計,然后再根據(jù)Carleman估計得到更多Cauchy問題的條件穩(wěn)定性。
　　第四章,我們將譜方法應用到一類地震斷層成像的反問題中。首先我們介紹了走時