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1、譜方法是求解微分方程數(shù)值解的重要方法之一,在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用,但是在實(shí)際應(yīng)用中還是受到了諸多因素的制約,如不能靈活的應(yīng)用于復(fù)雜區(qū)域的計(jì)算.對(duì)于高維問(wèn)題,計(jì)算量仍然很大,其導(dǎo)出的代數(shù)方程組的規(guī)模也很大,給求解造成了很大的困難.對(duì)于復(fù)雜區(qū)域問(wèn)題,解決的辦法之一就是將區(qū)域分解成若干個(gè)子區(qū)域,在每個(gè)子區(qū)域上使用譜方法,即譜元法;對(duì)于高維問(wèn)題,解決的方法之一就是使用交替方向隱式方法(Alternating Direction Impli
2、cit Method,簡(jiǎn)稱(chēng)ADI).ADI方法把高維問(wèn)題轉(zhuǎn)化一系列獨(dú)立的低維問(wèn)題,從而降低原問(wèn)題的規(guī)模,并且可以實(shí)現(xiàn)高度的并行化計(jì)算.
Schr(?)dinger方程是量子力學(xué)最基本的方程.在高能物理,非線(xiàn)性光學(xué)等領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用.本文以Schr(?)dinger方程為模型,將區(qū)域分裂方法和交替方向隱式方法結(jié)合起來(lái),求解二維微分方程.
本文的主要工作如下:
首先,時(shí)間方向采用Crank-
3、Nicolson格式,本文建立了一維線(xiàn)性Schr(?)dinger方程的全離散Legendre-Galerkin譜元格式,并證明了格式在L2和H1意義下的穩(wěn)定性和收斂性.由于譜元法中利用了區(qū)域分裂算法,算法的并行化顯得尤為重要.根據(jù)算法的特點(diǎn),選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù),本文詳細(xì)描述了算法的并行化求解過(guò)程.時(shí)間方向采用Crank-Nicolson蛙跳格式,本文還給出了相應(yīng)的一維非線(xiàn)性Schr(?)dinger方程的全離散Legendre-Gale
4、rkin譜元格式.
其次,時(shí)間方向采用Crank-Nicolson(Crank-Nicolson蛙跳)格式,并利用算子分裂技巧,本文提出了一種交替方向Legendre-Galerkin譜元格式求解二維線(xiàn)性(非線(xiàn)性)Schr(?)dinger方程數(shù)值解.該算法的最大優(yōu)點(diǎn)在于其計(jì)算的高度并行化,并且可以減少存儲(chǔ),這也是本文最重要的結(jié)果.該方法利用交替方向隱式方法(ADI)把二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列獨(dú)立的一維方程組,在求解一維方程組
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