解析函數(shù)的Cantor邊界性質(zhì)和函數(shù)空間的復(fù)合型算子.pdf

1、用D={z∶|z|＜1}表示單位圓盤(pán)， C∞表示擴(kuò)充復(fù)平面.設(shè)f(z)在D內(nèi)解析且連續(xù)到邊界(a)D，則f((a)D)是局部連通的緊集。設(shè)C∞\f((a)D)=Uj≥0Wj為連通分支分解，則Wj單連通且具有局部連通的邊界。如果f-1((a)f(D))和f-1((a)Wj)∩(a)D都是Cantor型集合，即(a)D中的無(wú)處稠密集。我們就說(shuō)f(z)在D內(nèi)具有Cantor邊界性質(zhì).其中Wj是滿足f(D)∩Wj≠Φ的任何連通分支。本文的前半部

2、分主要研究單位圓盤(pán)D內(nèi)解析函數(shù)的Cantor邊界性質(zhì)及相關(guān)問(wèn)題，后半部分主要研究Cn上幾個(gè)全純函數(shù)空間之間的復(fù)合型算子。全文由六章組成。
　　 第一章，我們對(duì)解析函數(shù)的Cantor邊界性質(zhì)、復(fù)合型算子的有界性以及緊性問(wèn)題的背景與現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，并列出了論文的主要結(jié)果。
　　 第二章，我們對(duì)Cantor型集C=f-1(a)f(D))的測(cè)度進(jìn)行研究，得到了一維Lebesgue測(cè)度|C|＞0的一個(gè)充分條件：若f(z)具有Can

3、tor邊界性質(zhì)且f1(z)屬于H1，則|C|＞0.然后根據(jù)這一結(jié)論構(gòu)造出了一些滿足|C|＞0的例子。
　　 第三章，我們考慮復(fù)Weierstrass函數(shù)f(z)=∑∞n=1λ-βnZλn.這里λ＞1，0＜β＜1，則f(z)在D={z∶|z|＜1}內(nèi)解析且在/D上連續(xù)，當(dāng)λ不為整數(shù)時(shí)，我們?nèi)={z∶|z|＜1}\[0，1)且zλn取D內(nèi)的主值分支.我們首先給出局部Cantor邊界性質(zhì)的定義，然后證明復(fù)Weierstrass函數(shù)f

4、(z)在L={eiθ∶0＜θ＜2π}上具有局部Cantor邊界性質(zhì)。在這一章，我們還考慮Hadamard缺項(xiàng)級(jí)數(shù)g(z)=C0+∑∞k=11ckznk.我們證明了：如果inf{nk+1/nk}≥q＞1，supκnk|ck|=∞且∑κ|ck|＜∞，則g(z)在D內(nèi)具有Cantor邊界性質(zhì)。
　　 第四章，利用pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)與單葉函數(shù)的關(guān)系，我們建立了解析函數(shù)具有Cantor邊界性質(zhì)的一個(gè)充分條件，同時(shí)給出了相應(yīng)的

5、例子。
　　 第五章，我們研究單位球B上小Bloch型空間之間的加權(quán)復(fù)合算子，得到了Cn中單位球上小Bloch型空間βp0到βp0的加權(quán)復(fù)合算子TΨφ為有界算子或緊算子的充要條件。
　　 第六章，我們研究單位球B上Dirichlet型空間Dpα上的Carleson測(cè)度和乘子問(wèn)題。對(duì)0＜p≤q＜∞，我們首先得到了B上正的Borel測(cè)度μ使得DpαCLq(dμ)的充要條件，然后應(yīng)用所得結(jié)論給出了Dpα到Dpα的乘子為有界算子