倒向隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)和在金融上的應(yīng)用.pdf

1、　　1990年,Pardoux和彭實(shí)戈引入了如下一般的倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)：
　　yt=ζ+integral from n=t to T(g(s,ys,zs)ds)-integral from n=t to T(zsdWs), t∈[O,T]. (0.1)
　　按照他們的理論,這一類BSDEs的解是一對(duì)適應(yīng)過程,記為(y,z),由于這一方面的理論與數(shù)理金融、隨機(jī)控制、偏微分方程、隨機(jī)決策、隨機(jī)幾何、數(shù)理經(jīng)濟(jì)等有密切關(guān)

2、系,從此,許多科研工作者致力于倒向隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)的研究。其中彭實(shí)戈于1991年得到的關(guān)于解的第一部分y的比較定理是比較杰出的工作。
　　有趣的問題是如何比較BSDE(0.1)的解(y,z)的第二部分z,z的性質(zhì)又如何？事實(shí)上,了解z的性質(zhì)以及比較z的大小是非常重要的,因?yàn)樵谄跈?quán)定價(jià)中z表示投資組合。彭實(shí)戈把倒向隨機(jī)微分方程理論和偏微分方程理論聯(lián)系起來,利用偏微分方程理論的有關(guān)知識(shí)考察了z并且給出了z的一個(gè)簡(jiǎn)單的顯示表示(見[

3、12])然后,陳增敬等人利用z的這個(gè)顯示表示作了大量的工作,得到許多好的結(jié)論(見[3],[4])。但是所有以上的工作都是基于一個(gè)事實(shí)：倒向隨機(jī)微分方程(BSDE(0.1))的生成元g是確定的,如果g是隨機(jī)的,利用偏微分方程的有關(guān)知識(shí)來考察z的性質(zhì)不是很有效的。
　　在本論文的第一章中,我們考察帶有隨機(jī)生成元g的倒向隨機(jī)微分方程,利用Malliavin微分的有關(guān)知識(shí)來研究z的性質(zhì),我們得到了某些BSDEs比較z的方法,給出了某些BS

4、DEs關(guān)于z的比較定理。本章所得到的主要結(jié)論是定理1.3.1、例1.4.1、例1.4.2、定理1.4.5,其中定理1.3.1是最基礎(chǔ)的,現(xiàn)在引用如下：
　　定理1.3.1：假設(shè)BSDE的參數(shù)(g,ζ)滿足條件(H3)、(H4)和(H5),令(yt,zt；0 ≤ t ≤T)是相應(yīng)的BSDE的解。如果對(duì)任意的t∈[O,T],Dtζ≥ 0,a.s.并且Dtg(s,ys,zs) ≥0,dp×dt,a.s.0 ≤t ≤s≤T.
　　那

5、么在幾乎處處的意義下,對(duì)任意的t∈[O,T],zt ≥ 0；而且,如果對(duì)任意的t∈[O,T],Dtζ>；0,a.s.或者Dtg(s,ys,zs)>；0,dp×dt a.s.0 ≤ t ≤ s ≤T,那么zt>；0,a.e. t∈[O,T]。(注：其中條件(H3)、(H4)和(H5)見第5頁(yè)的引理1.3.1)
　　然后利用關(guān)于z的比較定理,我們又研究了關(guān)于BSDEs的共單調(diào)定理,有關(guān)BSDEs解的共單調(diào)定理,陳增敬等人作