倒向隨機(jī)微分方程解的控制定理.pdf

1、1990年，Pardoux和Peng(見(jiàn)[5]引進(jìn)了一類倒向隨機(jī)微分方程(BSDEs)： Yt=ξ+/∫Ttg(Ys，Zs，s)ds-∫TtZs·dWst∈[0，T]Pardoux和Peng證明了，當(dāng)ξ和g滿足一定的條件的時(shí)候，上述的倒向方程存在一對(duì)唯一的適應(yīng)解(Yt，Zt)．根據(jù)Pardoux和Peng的結(jié)論，上述倒向隨機(jī)微分方程的解(Yt，Zt)是一個(gè)解對(duì)，由兩部分構(gòu)成，分別為Yt和Zt．自從該理論提出之后，已被廣泛應(yīng)用于數(shù)

2、學(xué)金融、隨機(jī)控制、偏微分方程和數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。由于它的廣泛應(yīng)用，很多專家學(xué)者開(kāi)始對(duì)這一理論產(chǎn)生濃厚的興趣。自從1990年倒向隨機(jī)微分方程理論提出之后，人們已經(jīng)得到了很多關(guān)于此方程解的性質(zhì)和結(jié)論。然而，到目前為止，有關(guān)這方面的研究大部分仍集中在解的第一部分，即Yt的性質(zhì)，很少有人關(guān)注解的第二部分，即Zt的性質(zhì)。這一部分解實(shí)際上是倒向方程的擴(kuò)散項(xiàng)。 近年來(lái)，人們開(kāi)始研究倒向方程解Zt的性質(zhì)。在這個(gè)方向上一個(gè)重要的成果是Chen于2

3、005年提出的共單調(diào)定理(見(jiàn)[1]，在此定理中Chen證明了Zt的共單調(diào)性。也就是，(Y1t，Z1t)和(Y2t，Z2t)是分別為以ξ1=Ф1(X1T)和ξ2=Ф2(X2T)為終端值的倒向隨機(jī)微分方程的解，并且X1T和X2T分別由下列馬氏過(guò)程產(chǎn)生，{dXit=bi(t，Xit)dt+σi(t，Xit)·dWt；t∈[0，T]{Xi0=xi其中i=1，2，那么Z1T⊙Z2t≥0，當(dāng)Ф1和Ф2是共單調(diào)的，并且σ11(t，X1T)⊙σ2(t，

4、X2t)≥0時(shí)。 在本文中，我們將會(huì)繼續(xù)討論Zt的性質(zhì)．我們將會(huì)考慮下列問(wèn)題：在什么條件下，倒向隨機(jī)微分方程的解大于一個(gè)常數(shù)(或小于一個(gè)常數(shù))，即Zt≥k(或Zt≤k)，k為任意的常數(shù)?在什么條件下，倒向方程的擴(kuò)散項(xiàng)被正向方程的擴(kuò)散項(xiàng)所控制，即Zt≥kσ(t，Xt)(或Zt≤kσ(t，Xt))?在文中，我們將給出關(guān)于這些問(wèn)題的結(jié)論。 本文內(nèi)容分為以下五部分： 第1節(jié)：倒向隨機(jī)微分方程的一些基本結(jié)論和定義

5、在這一節(jié)中，我們主要給出一些本文中將會(huì)用到的倒向隨機(jī)微分方程理論的基本知識(shí)和一些符號(hào)含義。 第2節(jié)：共單調(diào)定理 這一部分，我們將給出Chen的共單調(diào)定理，該定理是本文的基礎(chǔ)。 第3節(jié)：由常數(shù)控制的控制定理 在本節(jié)中，我們主要討論第一個(gè)問(wèn)題，即在什么條件下，會(huì)有Zt≥k(或Zt≤k)。在本節(jié)的最后，我們將給出應(yīng)用該結(jié)論的一個(gè)例子。 第4節(jié)：一般情況下的控制定理 在這節(jié)中，我們討論第二個(gè)問(wèn)題，