倒向隨機微分方程解的控制定理.pdf

1、1990年，Pardoux和Peng(見[5]引進了一類倒向隨機微分方程(BSDEs)： Yt=ξ+/∫Ttg(Ys，Zs，s)ds-∫TtZs·dWst∈[0，T]Pardoux和Peng證明了，當ξ和g滿足一定的條件的時候，上述的倒向方程存在一對唯一的適應解(Yt，Zt)．根據(jù)Pardoux和Peng的結論，上述倒向隨機微分方程的解(Yt，Zt)是一個解對，由兩部分構成，分別為Yt和Zt．自從該理論提出之后，已被廣泛應用于數(shù)

2、學金融、隨機控制、偏微分方程和數(shù)學經(jīng)濟學等領域。由于它的廣泛應用，很多專家學者開始對這一理論產(chǎn)生濃厚的興趣。自從1990年倒向隨機微分方程理論提出之后，人們已經(jīng)得到了很多關于此方程解的性質(zhì)和結論。然而，到目前為止，有關這方面的研究大部分仍集中在解的第一部分，即Yt的性質(zhì)，很少有人關注解的第二部分，即Zt的性質(zhì)。這一部分解實際上是倒向方程的擴散項。 近年來，人們開始研究倒向方程解Zt的性質(zhì)。在這個方向上一個重要的成果是Chen于2

3、005年提出的共單調(diào)定理(見[1]，在此定理中Chen證明了Zt的共單調(diào)性。也就是，(Y1t，Z1t)和(Y2t，Z2t)是分別為以ξ1=Ф1(X1T)和ξ2=Ф2(X2T)為終端值的倒向隨機微分方程的解，并且X1T和X2T分別由下列馬氏過程產(chǎn)生，{dXit=bi(t，Xit)dt+σi(t，Xit)·dWt；t∈[0，T]{Xi0=xi其中i=1，2，那么Z1T⊙Z2t≥0，當Ф1和Ф2是共單調(diào)的，并且σ11(t，X1T)⊙σ2(t，

4、X2t)≥0時。 在本文中，我們將會繼續(xù)討論Zt的性質(zhì)．我們將會考慮下列問題：在什么條件下，倒向隨機微分方程的解大于一個常數(shù)(或小于一個常數(shù))，即Zt≥k(或Zt≤k)，k為任意的常數(shù)?在什么條件下，倒向方程的擴散項被正向方程的擴散項所控制，即Zt≥kσ(t，Xt)(或Zt≤kσ(t，Xt))?在文中，我們將給出關于這些問題的結論。 本文內(nèi)容分為以下五部分： 第1節(jié)：倒向隨機微分方程的一些基本結論和定義

5、在這一節(jié)中，我們主要給出一些本文中將會用到的倒向隨機微分方程理論的基本知識和一些符號含義。 第2節(jié)：共單調(diào)定理 這一部分，我們將給出Chen的共單調(diào)定理，該定理是本文的基礎。 第3節(jié)：由常數(shù)控制的控制定理 在本節(jié)中，我們主要討論第一個問題，即在什么條件下，會有Zt≥k(或Zt≤k)。在本節(jié)的最后，我們將給出應用該結論的一個例子。 第4節(jié)：一般情況下的控制定理 在這節(jié)中，我們討論第二個問題，