帶隨機違約時間的倒向隨機微分方程，超前倒向隨機微分方程及其相關(guān)結(jié)果.pdf

1、形如的方程被稱為倒向隨機微分方程(簡記為BSDE),其線性形式由Bismut[14]在1973年引入,其一般形式由Pardoux和Peng[73]于1990年首次研究.
　　 在過去的近二十年中,BSDE理論受到了廣泛的關(guān)注(參見[1],[2],[4],[20],[21],[22],[28],[54],[62],[63],[64],[68],[83],[90],[91],等等).特別地,比較定理是這一理論的一大重要結(jié)果,這歸因于

2、Peng[79],然后由Paxdoux和Peng[74],E1 Karoui et al.[39],Hu和Peng[55]做了推廣.比較定理告訴我們這樣一個事實:當(dāng)我們可以比較兩個BSDE的終端條件和生成元時,那么我們也可以對其解做出比較.反過來,我們也有逆比較定理,即當(dāng)可以比較解時那也可以比較生成元,參見Briand et al.[19],Coquetet al.[30],Hu和Peng[55],Jiang[59]等.
　　

3、在無違約市場中,這些結(jié)果被得到了廣泛的應(yīng)用.準(zhǔn)確地講,BSDE在金融數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,如在定價和對沖理論中的應(yīng)用(參見E1 Kaxoui et al.[39]等),在隨機控制和對策理論中的應(yīng)用(參見Buckdaln和Li[23],E1 Karoui et al.[39],E1 Karoui和Hamadène[36],Hamadène[44],Hamadène和Lepeltier[45]及[46],Hamadène et al.[47]

4、,Hamadène et al[48]及[49],Peng[80],Quenez[85],Peng和Wu[81],等等),在偏微分方程(簡記為PDE)中的應(yīng)用(參見Barles et al.[5],Barles和Lesigne[6],Briand[18],Pardoux和Peng[74],Pardoux和Tang[76],Pardoux和Veretennikov[77],Peng[78]及[79],Wu和Yu[88],等等).
　

5、　 同時,人們也對BSDE的反射解做了大量研究.單邊界反射BSDE由E1 Karouiet al.[37]首次提出,其解被保持在一個給定的隨機過程(稱為邊界或者障礙)的上方.雙邊界反射BSDE也隨之被引入(見Cvitanic和Karatzas[32],Hamadène et al.[47]等).事實上反射BSDE是一個非常熱門的課題,因為它在金融,對策,控制問題,偏微分方程等各方面都有重要的應(yīng)用(參見Bally et al.[3],E

6、1 Karoui et al.[38],Hamadène和Lepeltier[46],Lepeltier et al.[61],Matoussi[70]).后來這些結(jié)果被推廣到不連續(xù)障礙的情況(參見Harnadbène[43],Lepeltier和xu[65],Peng和Xu[82]).Hamadbène和Ouknine[50](也可參見Hamadène和Wang[51]研究了由布朗運動和一個與布朗運動獨立的泊松隨機測度所驅(qū)動的反射BS

7、DE.
　　 本文的主要目的是豐富并改進BSDE理論,以下是本文的主要結(jié)果.
　　 第一章:介紹本文工作的背景及第二章到第四章所研究的主要問題.
　　 第二章:在違約框架下,我們首次引入了一種新型BSDE--帶隨機違約時間的BSDE,它由布朗運動及一個與布朗運動獨立的不連續(xù)鞅所驅(qū)動,其一般形式為:
　　 對于此類方程,我們有如下結(jié)果.值得一提的是,對生成元的要求,比較定理要強于存在唯-性定理.
　　

8、 定理2.2.2.(存在唯一性定理)
　　 定理2.2.7.(比較定理)
　　 然后我們處理了一種特殊情況--g(t,Y,z,ζ)=μ｜z｜+v1{r>l｝γl｜s｜.更一般地,通過帶隨機違約時間的BSDE,我們對違約風(fēng)險的PDE途徑做了介紹.對此,我們有定理2.4.3.假設(shè)如下定義的函數(shù)u
　　 作為應(yīng)用,我們研究了違約框架下的零和隨機微分對策問題.假設(shè)兩個博弈者J1和J2在同一控制系統(tǒng)中進行博弈.受控系統(tǒng)的