倒向隨機(jī)微分方程在經(jīng)濟(jì)金融優(yōu)化問題中的應(yīng)用.pdf

1、本論文研究的是倒向隨機(jī)微分方程(BSDEs)在經(jīng)濟(jì)和金融相關(guān)優(yōu)化問題中的應(yīng)用。我們知道倒向隨機(jī)微分方程理論是由Pardoux和Peng在論文[62]建立的。從起源上看，研究引入倒向隨機(jī)微分方程的主要目的就是為了解決隨機(jī)控制問題，也就是研究隨機(jī)最大值原理。因此在此之后有許多與倒向隨機(jī)微分方程有關(guān)的隨機(jī)控制理論方面的研究，在這些研究當(dāng)中，隨機(jī)最大值原理總是主要的技術(shù)方面的研究控制問題工具。許多的研究及其成果還擴(kuò)展到其他的領(lǐng)域，例如經(jīng)濟(jì)和金融

2、，這使得倒向隨機(jī)微分方程理論成為跨學(xué)科的成果，在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域里許多優(yōu)化問題會(huì)應(yīng)用倒向隨機(jī)微分方程來解決。
　　本論文解決了三個(gè)分別覆蓋微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和行為金融學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。本文中第一個(gè)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題是一個(gè)關(guān)于長(zhǎng)期委托人-代理人問題(principal-agent問題，簡(jiǎn)稱PA問題)或者稱是長(zhǎng)期契約問題(contracting problem)。這個(gè)問題中，契約雙方對(duì)項(xiàng)目質(zhì)量，或是代理人質(zhì)量（如能力等）具有對(duì)稱不確定性

3、（即項(xiàng)目中的有關(guān)質(zhì)量參數(shù)是未知的），并且代理人有隱藏行動(dòng)(hidden action)。此外，我們還假設(shè)代理人對(duì)新息(innovation)布朗運(yùn)動(dòng)的分布不確定。也就是說，給定新息后（學(xué)習(xí)后），代理人對(duì)項(xiàng)目的產(chǎn)出或是現(xiàn)金流分布不確定。因此我們第一個(gè)問題是解決一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性委托人如何設(shè)計(jì)一個(gè)合同，使自己的效用（即利潤(rùn)）最大化，并且設(shè)計(jì)最優(yōu)合同是受同時(shí)具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡和模糊厭惡的代理人動(dòng)機(jī)(incentive)約束。在歷史上，Holmstrom和

4、Milgrom[38]第一個(gè)在連續(xù)時(shí)間框架下解決隱藏行動(dòng)問題，或者我們稱為道德風(fēng)險(xiǎn)(moral hazard)問題。Sannikov[70]在給代理人的酬勞按連續(xù)時(shí)間率支付的假設(shè)下給出了一種解決道德風(fēng)險(xiǎn)問題的易處理方式(tractable way)。這個(gè)假設(shè)普遍用于在隨后至今的連續(xù)時(shí)間模型中。Prat和Jovanovic[68]以及He et al[37]分別研究需要雙方學(xué)習(xí)項(xiàng)目中未知代理人能力的契約問題。Prat和Jovanovic[

5、68]研究的是非穩(wěn)定學(xué)習(xí)，而He et al[37]聚焦于穩(wěn)定學(xué)習(xí)情況。Miao和Rivera[61]研究了一個(gè)穩(wěn)健合同(robust contract)情況，然而他們關(guān)注的是委托人面對(duì)模糊的情況，而不是代理人。相反的，我們認(rèn)為由于作為專業(yè)管理人員的代理人對(duì)環(huán)境具有更多的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，他更清楚明白自己所面臨的復(fù)雜環(huán)境，因此是代理人能意識(shí)到模糊性。并且，我們采用的是Chen-epstein[9]方法來處理模糊性。所以，我們的模型同時(shí)考慮關(guān)于

6、項(xiàng)目質(zhì)量的學(xué)習(xí)以及模糊的情況，這使我們考慮的問題更加符合復(fù)雜現(xiàn)實(shí)的世界。
　　在這個(gè)契約問題中關(guān)鍵難點(diǎn)是怎樣給出合同滿足動(dòng)機(jī)相容(incentive compatiblecontract，簡(jiǎn)稱IC)條件的必要條件。合同的動(dòng)機(jī)相容性實(shí)質(zhì)上是代理人控制問題。我們能證明本質(zhì)上我們可以把這個(gè)得到必要條件的問題等價(jià)于解一個(gè)比倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)更加復(fù)雜的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEs)的隨機(jī)控制問題。詳細(xì)的說，我們需要用Cvitani(c

7、)和Zhang[15]中介紹的最大值原理來解決正倒向隨機(jī)微分方程控制問題。但是我們?cè)谀：碌膭?dòng)態(tài)合約模型誘導(dǎo)出的正倒向隨機(jī)微分方程是非光滑的:倒向方程的漂移項(xiàng)關(guān)于狀態(tài)變量不是連續(xù)可微的。連續(xù)可微條件是隨機(jī)最大值原理證明過程中所用的變分法所必須的，因?yàn)榈谝徊绞菍?duì)狀態(tài)變量進(jìn)行微分。因此此問題中我們數(shù)學(xué)上的技術(shù)貢獻(xiàn)是通過使用非光滑分析中的廣義導(dǎo)數(shù)方法，解決了上述難題，并得到了代理人問題的一階必要條件。我們用兩個(gè)分別包含一個(gè)信息租金(infor

8、mation rent)集合中的上界和下界的方程來表示這個(gè)必要條件，而經(jīng)典正倒向隨機(jī)微分方程控制問題的結(jié)果中只有一個(gè)方程。正是由于模糊使我們得到一個(gè)信息租金集合，因?yàn)槟：挛覀儠?huì)得到一族關(guān)于代理人連續(xù)價(jià)值的最壞情況概率(worst-case beliefs)。經(jīng)濟(jì)上來說我們的必要條件是按照一種穩(wěn)健形式(robust form)展示的。更重要的是，在把必要條件作為求解最終委托人最優(yōu)合同問題的控制限制后，我們能夠用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到一個(gè)HJB

9、方程。并且我們能夠解出這個(gè)HJB方程，即一個(gè)偏微分方程(PDE)的顯式解，這也同時(shí)意味著我們能夠得到最優(yōu)合同的具體數(shù)學(xué)形式。所以我們最后能夠很方便的詳細(xì)分析合同內(nèi)容并且得到了很多重要的經(jīng)濟(jì)意義和結(jié)果。
　　第一個(gè)問題的研究成果是我在美國(guó)波士頓大學(xué)經(jīng)濟(jì)系為期一年的訪問學(xué)者期間完成的。合作作者是來自波士頓大學(xué)的苗建軍教授和來自山東大學(xué)的嵇少林教授:
　　Dynamic Contracts with Learning under

10、Ambiguity,with Shaolin Ji and JianjunMiao,Boston University working paper.
　　第二個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)問題是關(guān)于在連續(xù)時(shí)間框架下如何實(shí)施帶零利率下界限制的有承諾的(under commitment)最優(yōu)貨幣政策。在名義利率上實(shí)施的零利率下界限制在解決流動(dòng)性陷阱問題時(shí)是非常常用的，最現(xiàn)實(shí)的例子就是美國(guó)自2008年經(jīng)濟(jì)危機(jī)后至今所面臨的流動(dòng)性陷阱情況。自那場(chǎng)危機(jī)以后，

11、美國(guó)聯(lián)邦儲(chǔ)備委員會(huì)（美國(guó)央行）將名義利率迅速降到零利率附近以緩和經(jīng)濟(jì)衰退，并將零利率保持至今（直到2015年第四季度才宣布加息25個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)）。結(jié)果是，名義利率在零點(diǎn)附近而不能繼續(xù)下降，因此以利率為調(diào)控手段的貨幣政策失效。
　　我們用新凱恩斯模型來研究隨機(jī)連續(xù)時(shí)間框架下的最優(yōu)貨幣政策。歷史上，新凱恩斯模型來自于Eggertsson和Woodford[19]，Woodford[78]以及Gali[26]所建立的離散時(shí)間公式。Clari

12、da，Gali和Gerlter[11]從不帶零利率下界的離散時(shí)間模型來研究新凱恩斯主義下的最優(yōu)貨幣政策。Adam和M.Billi[1]在離散時(shí)間框架下研究帶零利率下界的具有承諾性的最優(yōu)貨幣政策。Ivan Werning[75]研究了在流動(dòng)性陷阱中帶零利率下界的連續(xù)時(shí)間框架下的最優(yōu)貨幣政策問題，但是他構(gòu)建的是確定性模型。
　　我們研究的問題中經(jīng)濟(jì)模型被轉(zhuǎn)化成了解決無窮時(shí)間區(qū)間下倒向隨機(jī)微分方程的控制問題。Shi和Peng[66]研究

13、了無窮時(shí)間區(qū)間的正倒向隨機(jī)微分方程，Haadem和Oksendal[30]研究了無窮時(shí)間區(qū)間下的最大值原理，但是這些方程中的參數(shù)條件都過于嚴(yán)格，不適用于我們的模型。所以在解決此問題中我們的技術(shù)貢獻(xiàn)是:(1)我們研究了無窮時(shí)間區(qū)間下在我們構(gòu)造的最優(yōu)貨幣政策模型中倒向隨機(jī)微分方程解的存在性。其中關(guān)鍵點(diǎn)就在于如何構(gòu)造方程相應(yīng)終端條件(transversality condition)以保證可行控制集合是非空的，否則的話這個(gè)控制問題就是無意義的

14、(ill-posed);(2)我們得到了最優(yōu)解的必要條件，即得到了相應(yīng)的伴隨方程和無窮時(shí)間框架下此控制問題最優(yōu)解滿足的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian);(3)我們還給出了極限條件來保證無窮時(shí)間下的控制問題中的必要條件也是充分條件。因此我們可以分析最終得出的充要條件，從而得出相應(yīng)的關(guān)于最優(yōu)貨幣政策的經(jīng)濟(jì)暗示。
　　這一部分的工作來自于我和山東大學(xué)嵇少林教授的工作論文:
　　Proposal on optimal mone

15、tary policy under commitment withzero lower bound incontinuous setting,with Shaolin Ji.
　　第三個(gè)行為金融問題是關(guān)于解決一個(gè)g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇問題。在此問題中，投資者的效用函數(shù)滿足Inada條件。我們的模型是基于以前的Jin和zhou[46]的研究，但是我們?cè)谶@里用的是g-期望，一種非線性期望來代替他們文章中的非線性概率扭曲。這種非線

16、性期望可以刻畫類似于第一章中代理人所面臨的模糊情況。具體到模型上來說，我們用由Peng[64]引入的g-期望來代替Jin和zhou[46]中用的Choquet期望。此外，我們用了不同的S型效用函數(shù)和g-函數(shù)來分別構(gòu)造表示投資者對(duì)待損失和盈利所不同的不確定性態(tài)度。
　　從控制論的角度上講，我們建模的行為金融問題是倒向隨機(jī)微分方程的終端變量為控制變量，在一個(gè)成本函數(shù)約束下的最大化倒向隨機(jī)微分方程零時(shí)刻解的控制問題。為了解決這個(gè)與倒向隨

17、機(jī)微分方程有關(guān)的控制問題，我們用Ji和Peng[42]以及Ji和Zhou[43，44]介紹的終端攝動(dòng)方法。然而，在我們模型中用這個(gè)方法來得到控制問題的最優(yōu)解的必要條件會(huì)遇到一些技術(shù)性難題。因?yàn)槲覀兊男в煤瘮?shù)在Inda條件假設(shè)下在零點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)是正無窮。因此，相應(yīng)的終端攝動(dòng)方法過程中的可積性和收斂性結(jié)果就不存在了。因此在解決這個(gè)問題中我們的技術(shù)貢獻(xiàn)是我們沒有直接用終端攝動(dòng)方法，而是用反證法解決處理了這些技術(shù)性難題。我們找到一個(gè)反例，在這個(gè)